Ensembles finis Exemples

${(x + 2)}^{3} = x^{2} + 8$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(x + 2)}^{3} - x^{2} = 8$

Étape 1.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

${(x + 2)}^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Étape 2

Simplifiez ${(x + 2)}^{3} - x^{2} - 8$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.1.2.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 - x^{2} - 8 = 0$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 - x^{2} - 8$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2} + 0 = 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2}$ et $0$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2} = 0$

Étape 2.3

Soustrayez $x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$x^{3} + 5 x^{2} + 12 x = 0$

Étape 3

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 5 x^{2} + 12 x$ .

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 5 x^{2} + 12 x = 0$

Étape 3.2

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (5 x) + 12 x = 0$

Étape 3.3

Factorisez $x$ à partir de $12 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (5 x) + x \cdot 12 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (5 x)$ .

$x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 12 = 0$

Étape 3.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 12$ .

$x (x^{2} + 5 x + 12) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 5 x + 12 = 0$

Étape 5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Définissez $x^{2} + 5 x + 12$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x^{2} + 5 x + 12$ égal à $0$ .

$x^{2} + 5 x + 12 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x^{2} + 5 x + 12 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 5$ et $c = 12$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.3

Soustrayez $48$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Étape 6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Étape 6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.3

Soustrayez $48$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Étape 6.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 6.2.4.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 6.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

Étape 6.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

Étape 6.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

Étape 6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

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Étape 6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.3

Soustrayez $48$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Étape 6.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Étape 6.2.5.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Étape 6.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

Étape 6.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

Étape 6.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x^{2} + 5 x + 12) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$