Ensembles finis Exemples

${(n - 5)}^{2} = - 4$

Étape 1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

${(n - 5)}^{2} + 4 = 0$

Étape 2

Simplifiez ${(n - 5)}^{2} + 4$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(n - 5)}^{2}$ comme $(n - 5) (n - 5)$ .

$(n - 5) (n - 5) + 4 = 0$

Étape 2.1.2

Développez $(n - 5) (n - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$n (n - 5) - 5 (n - 5) + 4 = 0$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$n \cdot n + n \cdot - 5 - 5 (n - 5) + 4 = 0$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$n \cdot n + n \cdot - 5 - 5 n - 5 \cdot - 5 + 4 = 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $n$ par $n$ .

$n^{2} + n \cdot - 5 - 5 n - 5 \cdot - 5 + 4 = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $n$ .

$n^{2} - 5 \cdot n - 5 n - 5 \cdot - 5 + 4 = 0$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$n^{2} - 5 n - 5 n + 25 + 4 = 0$

Étape 2.1.3.2

Soustrayez $5 n$ de $- 5 n$ .

$n^{2} - 10 n + 25 + 4 = 0$

Étape 2.2

Additionnez $25$ et $4$ .

$n^{2} - 10 n + 29 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 10$ et $c = 29$ dans la formule quadratique et résolvez pour $n$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 29)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 29$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $29$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $116$ de $100$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$n = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$n = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$n = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$n = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$n = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 4 i}{2}$ .

$n = 5 \pm 2 i$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 29$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $29$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $116$ de $100$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$n = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$n = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$n = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$n = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$n = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 4 i}{2}$ .

$n = 5 \pm 2 i$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$n = 5 + 2 i$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 29$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $29$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $116$ de $100$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$n = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$n = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$n = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$n = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$n = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$n = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 4 i}{2}$ .

$n = 5 \pm 2 i$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$n = 5 - 2 i$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$n = 5 + 2 i, 5 - 2 i$