Ensembles finis Exemples

${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} = - 41$

Étape 1

Ajoutez $41$ aux deux côtés de l’équation.

${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2

Simplifiez ${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(1 - y)}^{2}$ comme $(1 - y) (1 - y)$ .

$(1 - y) (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.2

Développez $(1 - y) (1 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (1 - y) - y (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez $- y$ par $1$ .

$1 - y - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - y - y - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 y \cdot y + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.3.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.1.5.1

Déplacez $y$ .

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - y - y + 1 y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.3.1.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$1 - y - y + y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.3.2

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 2 y + y^{2} + 1 y - y \cdot y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - y \cdot y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.6

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.6.1

Déplacez $y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - (y \cdot y) - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.1.6.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - y^{2} - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.2

Associez les termes opposés dans $1 - 2 y + y^{2} + y - y^{2} - y^{2} + 41$ .

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Étape 2.2.1

Soustrayez $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$1 - 2 y + y + 0 - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.2.2

Additionnez $1 - 2 y + y$ et $0$ .

$1 - 2 y + y - y^{2} + 41 = 0$

Étape 2.3

Additionnez $1$ et $41$ .

$- 2 y + y - y^{2} + 42 = 0$

Étape 2.4

Additionnez $- 2 y$ et $y$ .

$- y - y^{2} + 42 = 0$

Étape 3

Laissez $u = y$ . Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $u$ .

$- u - u^{2} + 42 = 0$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- u^{2} - u + 42 = 0$

Étape 4.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 42 = - 42$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$- u^{2} - (u) + 42 = 0$

Étape 4.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $6$ plus $- 7$

$- u^{2} + (6 - 7) u + 42 = 0$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- u^{2} + 6 u - 7 u + 42 = 0$

Étape 4.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(- u^{2} + 6 u) - 7 u + 42 = 0$

Étape 4.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (- u + 6) + 7 (- u + 6) = 0$

Étape 4.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u + 7) = 0$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$(- y + 6) (y + 7) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- y + 6 = 0$

$y + 7 = 0$

Étape 7

Définissez $- y + 6$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Définissez $- y + 6$ égal à $0$ .

$- y + 6 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $- y + 6 = 0$ pour $y$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- y = - 6$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $- y = - 6$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- y = - 6$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 7.2.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 6}{- 1}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Divisez $- 6$ par $- 1$ .

$y = 6$

Étape 8

Définissez $y + 7$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Définissez $y + 7$ égal à $0$ .

$y + 7 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 7$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- y + 6) (y + 7) = 0$ vraie.

$y = 6, - 7$