Ensembles finis Exemples

$y = 4 \cos (3 x + \frac{π}{2})$

Étape 1

Définissez $4 \cos (3 x + \frac{π}{2})$ égal à $0$ .

$4 \cos (3 x + \frac{π}{2}) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $4 \cos (3 x + \frac{π}{2}) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $4 \cos (3 x + \frac{π}{2}) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 \cos (3 x + \frac{π}{2})}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cos (3 x + \frac{π}{2})}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.1.2.1.2

Divisez $\cos (3 x + \frac{π}{2})$ par $1$ .

$\cos (3 x + \frac{π}{2}) = \frac{0}{4}$

Étape 2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$\cos (3 x + \frac{π}{2}) = 0$

Étape 2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$3 x + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Étape 2.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{π - π}{2}$

Étape 2.4.3

Soustrayez $π$ de $π$ .

$3 x = \frac{0}{2}$

Étape 2.4.4

Divisez $0$ par $2$ .

$3 x = 0$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x = 0$

Étape 2.6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$3 x + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 2.7

Résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.7.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 x + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.7.1.2

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.7.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.7.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.7.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$3 x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.7.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.7.2.1

Soustrayez $\frac{π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{3 π - π}{2}$

Étape 2.7.2.3

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$3 x = \frac{2 π}{2}$

Étape 2.7.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 x = \frac{2 π}{2}$

Étape 2.7.2.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$3 x = π$

Étape 2.7.3

Divisez chaque terme dans $3 x = π$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.7.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x = π$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Étape 2.7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

Étape 2.7.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 2.8

Déterminez la période de $\cos (3 x + \frac{π}{2})$ .

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Étape 2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.8.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Étape 2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 2.9

La période de la fonction $\cos (3 x + \frac{π}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 2.10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 3