Ensembles finis Exemples

$2 v^{2} - 10 v - 20 = 8$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $v$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$2 v^{2} - 10 v = 8 + 20$

Étape 1.2

Additionnez $8$ et $20$ .

$2 v^{2} - 10 v = 28$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 v^{2} - 10 v = 28$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 v^{2} - 10 v = 28$ par $2$ .

$\frac{2 v^{2}}{2} + \frac{- 10 v}{2} = \frac{28}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 v^{2}}{2} + \frac{- 10 v}{2} = \frac{28}{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $v^{2}$ par $1$ .

$v^{2} + \frac{- 10 v}{2} = \frac{28}{2}$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $2$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 10 v$ .

$v^{2} + \frac{2 (- 5 v)}{2} = \frac{28}{2}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$v^{2} + \frac{2 (- 5 v)}{2 (1)} = \frac{28}{2}$

Étape 2.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$v^{2} + \frac{2 (- 5 v)}{2 \cdot 1} = \frac{28}{2}$

Étape 2.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$v^{2} + \frac{- 5 v}{1} = \frac{28}{2}$

Étape 2.2.1.2.2.4

Divisez $- 5 v$ par $1$ .

$v^{2} - 5 v = \frac{28}{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez $28$ par $2$ .

$v^{2} - 5 v = 14$

Étape 3

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Étape 4

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$v^{2} - 5 v + {(- \frac{5}{2})}^{2} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{2}$ .

$v^{2} - 5 v + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Étape 5.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$v^{2} - 5 v + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Étape 5.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$v^{2} - 5 v + 1 \frac{5^{2}}{2^{2}} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Étape 5.1.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{5^{2}}{2^{2}} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Étape 5.1.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{2^{2}} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Étape 5.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $14 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{2}$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + 1 \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Étape 5.2.1.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Étape 5.2.1.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + \frac{25}{2^{2}}$

Étape 5.2.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 + \frac{25}{4}$

Étape 5.2.1.2

Pour écrire $14$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = 14 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Étape 5.2.1.3

Associez $14$ et $\frac{4}{4}$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = \frac{14 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Étape 5.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = \frac{14 \cdot 4 + 25}{4}$

Étape 5.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.5.1

Multipliez $14$ par $4$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = \frac{56 + 25}{4}$

Étape 5.2.1.5.2

Additionnez $56$ et $25$ .

$v^{2} - 5 v + \frac{25}{4} = \frac{81}{4}$

Étape 6

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(v - \frac{5}{2})}^{2}$ .

${(v - \frac{5}{2})}^{2} = \frac{81}{4}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $v$ .

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Étape 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$v - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{81}{4}}$

Étape 7.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{81}{4}}$ .

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Étape 7.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{81}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}$ .

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{4}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{9}{\sqrt{4}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{9}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 7.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$v - \frac{5}{2} = \pm \frac{9}{2}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$v - \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$

Étape 7.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $v$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Ajoutez $\frac{5}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$v = \frac{9}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 7.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{9 + 5}{2}$

Étape 7.3.2.3

Additionnez $9$ et $5$ .

$v = \frac{14}{2}$

Étape 7.3.2.4

Divisez $14$ par $2$ .

$v = 7$

Étape 7.3.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$v - \frac{5}{2} = - \frac{9}{2}$

Étape 7.3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $v$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.4.1

Ajoutez $\frac{5}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$v = - \frac{9}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 7.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{- 9 + 5}{2}$

Étape 7.3.4.3

Additionnez $- 9$ et $5$ .

$v = \frac{- 4}{2}$

Étape 7.3.4.4

Divisez $- 4$ par $2$ .

$v = - 2$

Étape 7.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$v = 7, - 2$