Ensembles finis Exemples

$16 x^{2} + 25 = 40 x$

Étape 1

Simplifiez l’équation dans une forme appropriée pour compléter le carré.

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Étape 1.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} = 40 x - 25$

Étape 1.2

Soustrayez $40 x$ des deux côtés de l’équation.

$16 x^{2} - 40 x = - 25$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $16 x^{2} - 40 x = - 25$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $16 x^{2} - 40 x = - 25$ par $16$ .

$\frac{16 x^{2}}{16} + \frac{- 40 x}{16} = \frac{- 25}{16}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 x^{2}}{16} + \frac{- 40 x}{16} = \frac{- 25}{16}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{- 40 x}{16} = \frac{- 25}{16}$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun à $- 40$ et $16$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Factorisez $8$ à partir de $- 40 x$ .

$x^{2} + \frac{8 (- 5 x)}{16} = \frac{- 25}{16}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.2.2.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$x^{2} + \frac{8 (- 5 x)}{8 (2)} = \frac{- 25}{16}$

Étape 2.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{8 (- 5 x)}{8 \cdot 2} = \frac{- 25}{16}$

Étape 2.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{- 5 x}{2} = \frac{- 25}{16}$

Étape 2.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} = \frac{- 25}{16}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} = - \frac{25}{16}$

Étape 3

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 4

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- \frac{5}{4})}^{2} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{4}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{4}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + 1 \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{5^{2}}{4^{2}} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{4^{2}} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- \frac{25}{16} + {(- \frac{5}{4})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{4}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{4}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + 1 \frac{5^{2}}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + \frac{5^{2}}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + \frac{25}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = - \frac{25}{16} + \frac{25}{16}$

Étape 5.2.1.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.1.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{- 25 + 25}{16}$

Étape 5.2.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.2.2.1

Additionnez $- 25$ et $25$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = \frac{0}{16}$

Étape 5.2.1.2.2.2

Divisez $0$ par $16$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{25}{16} = 0$

Étape 6

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(x - \frac{5}{4})}^{2}$ .

${(x - \frac{5}{4})}^{2} = 0$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.1

Définissez le $x - \frac{5}{4}$ égal à $0$ .

$x - \frac{5}{4} = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $\frac{5}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{5}{4}$