Ensembles finis Exemples

$x^{2} - 3 x + 15 = 3$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $15$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x = 3 - 15$

Étape 1.2

Soustrayez $15$ de $3$ .

$x^{2} - 3 x = - 12$

Étape 2

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 3

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$x^{2} - 3 x + {(- \frac{3}{2})}^{2} = - 12 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} = - 12 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 4.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}} = - 12 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 4.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 3 x + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}} = - 12 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 4.1.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{3^{2}}{2^{2}} = - 12 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 4.1.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{2^{2}} = - 12 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 4.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = - 12 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- 12 + {(- \frac{3}{2})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = - 12 + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}$

Étape 4.2.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = - 12 + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = - 12 + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.2.1.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = - 12 + \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.2.1.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = - 12 + \frac{9}{2^{2}}$

Étape 4.2.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = - 12 + \frac{9}{4}$

Étape 4.2.1.2

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = - 12 \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 4.2.1.3

Associez $- 12$ et $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{- 12 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{- 12 \cdot 4 + 9}{4}$

Étape 4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.5.1

Multipliez $- 12$ par $4$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{- 48 + 9}{4}$

Étape 4.2.1.5.2

Additionnez $- 48$ et $9$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{- 39}{4}$

Étape 4.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = - \frac{39}{4}$

Étape 5

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(x - \frac{3}{2})}^{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} = - \frac{39}{4}$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{- \frac{39}{4}}$

Étape 6.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{39}{4}}$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez $- \frac{39}{4}$ comme ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 39$ .

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{39}{4}}$

Étape 6.2.1.2

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $39$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 39}{4}}$

Étape 6.2.1.3

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 39}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 6.2.1.4

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} \cdot 39}{2^{2} \cdot 1}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 39)}$

Étape 6.2.1.5

Réécrivez $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ comme ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 39}$

Étape 6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{i}{2} \sqrt{39}$

Étape 6.2.3

Associez $\frac{i}{2}$ et $\sqrt{39}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{i \sqrt{39}}{2}$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1

Ajoutez $\frac{3}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \pm \frac{i \sqrt{39}}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 6.3.2

Remettez dans l’ordre $\pm \frac{i \sqrt{39}}{2}$ et $\frac{3}{2}$ .

$x = \frac{3}{2} \pm \frac{i \sqrt{39}}{2}$