Ensembles finis Exemples

$f (x) = 5 \cos^{2} (π x)$

Étape 1

Définissez $5 \cos^{2} (π x)$ égal à $0$ .

$5 \cos^{2} (π x) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos^{2} (π x) = 0$ par $5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos^{2} (π x) = 0$ par $5$ .

$\frac{5 \cos^{2} (π x)}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cos^{2} (π x)}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 2.1.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (π x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (π x) = \frac{0}{5}$

Étape 2.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$\cos^{2} (π x) = 0$

Étape 2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (π x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\cos (π x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (π x) = \pm 0$

Étape 2.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\cos (π x) = 0$

Étape 2.4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$π x = \arccos (0)$

Étape 2.5

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$π x = \frac{π}{2}$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $π x = \frac{π}{2}$ par $π$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $π x = \frac{π}{2}$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Étape 2.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 2.6.3.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 2.6.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$π x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 2.8

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$π x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.8.1.2

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$π x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.8.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.8.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$π x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.8.1.5

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$π x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.8.2

Divisez chaque terme dans $π x = \frac{3 π}{2}$ par $π$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Divisez chaque terme dans $π x = \frac{3 π}{2}$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Étape 2.8.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{π}$

Étape 2.8.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 2.8.2.3.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.3.2.1

Factorisez $π$ à partir de $3 π$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 2.8.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{π \cdot 3}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 2.8.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 2.9

Déterminez la période de $\cos (π x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.9.2

Remplacez $b$ par $π$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| π |}$

Étape 2.9.3

$π$ est d’environ $3.14159265$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{π}$

Étape 2.9.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{π}$

Étape 2.9.4.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.10

La période de la fonction $\cos (π x)$ est $2$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{1}{2} + 2 n, \frac{3}{2} + 2 n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{1}{2} + 1 n$ , pour tout entier $n$

Étape 3