Ensembles finis Exemples

y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$

Étape 1

Définissez

- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}

$- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ égal à

0

$0$ .

- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} = 0

$- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} = 0$

Étape 2

Résolvez

x

$x$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Associez

x^{2}

$x^{2}$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} = 0

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} = 0$

Étape 2.1.2

Associez

x

$x$ et

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

- \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2} = 0

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2} = 0$

- \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2} = 0

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2} = 0$

Étape 2.2

Multipliez par le plus petit dénominateur commun

2

$2$ , puis simplifiez.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) = 0

$2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) = 0$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans

- \frac{x^{2}}{2}

$- \frac{x^{2}}{2}$ dans le numérateur.

2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) = 0

$2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) = 0$

Étape 2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{- x^{2}}{2}) + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) = 0$

Étape 2.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} + 2 (- \frac{x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) = 0$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{x}{2}$ dans le numérateur.

$- x^{2} + 2 (\frac{- x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) = 0$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- x^{2} + 2 (\frac{- x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) = 0$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} - x + 2 (\frac{3}{2}) = 0$

Étape 2.2.2.3

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 2.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- x^{2} - x + 2 (\frac{3}{2}) = 0$

Étape 2.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} - x + 3 = 0$

Étape 2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4

Remplacez les valeurs

$a = - 1$ ,

$b = - 1$ et

$c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour

$x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 3)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez

$- 1$ à la puissance

$2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez

$- 4 \cdot - 1 \cdot 3$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 3}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez

$4$ par

$3$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.1.3

Additionnez

$1$ et

$12$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot - 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{- 2}$

Étape 2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Étape 2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 + \sqrt{13}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$

$x = - \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Forme décimale :

$x = - 2.30277563 \dots, 1.30277563 \dots$

Étape 4