Ensembles finis Exemples

$f (x) = (\frac{π}{3}) (- \sin (\frac{π x}{3}))$

Étape 1

Définissez $(\frac{π}{3}) (- \sin (\frac{π x}{3}))$ égal à $0$ .

$(\frac{π}{3}) (- \sin (\frac{π x}{3})) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} (\frac{π}{3} \cdot (- 1 \sin (\frac{π x}{3}))) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Étape 2.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez $\frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} (\frac{π}{3} \cdot (- 1 \sin (\frac{π x}{3})))$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $\frac{π}{3}$ .

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Étape 2.2.1.1.1.1

Factorisez $\frac{π}{3}$ à partir de $\frac{π}{3} \cdot - 1$ .

$\frac{1}{\frac{π}{3} (- 1)} (\frac{π}{3} \cdot (- 1 \sin (\frac{π x}{3}))) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} (\frac{π}{3} (- 1 \sin (\frac{π x}{3}))) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 1} (- 1 \sin (\frac{π x}{3})) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.2

Associez $\frac{1}{- 1}$ et $\sin (\frac{π x}{3})$ .

$- 1 \frac{\sin (\frac{π x}{3})}{- 1} = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sin (\frac{π x}{3})}{- 1}$ .

$- 1 (- 1 \cdot \sin (\frac{π x}{3})) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sin (\frac{π x}{3})$ comme $- \sin (\frac{π x}{3})$ .

$- 1 (- \sin (\frac{π x}{3})) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.4

Multipliez $- 1 (- \sin (\frac{π x}{3}))$ .

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Étape 2.2.1.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sin (\frac{π x}{3}) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Multipliez $\sin (\frac{π x}{3})$ par $1$ .

$\sin (\frac{π x}{3}) = \frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez $\frac{1}{\frac{π}{3} \cdot - 1} \cdot 0$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Associez $\frac{π}{3}$ et $- 1$ .

$\sin (\frac{π x}{3}) = \frac{1}{\frac{π \cdot - 1}{3}} \cdot 0$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.2.1.2.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $π$ .

$\sin (\frac{π x}{3}) = \frac{1}{\frac{- 1 \cdot π}{3}} \cdot 0$

Étape 2.2.2.1.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (\frac{π x}{3}) = \frac{1}{- \frac{π}{3}} \cdot 0$

Étape 2.2.2.1.3

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\sin (\frac{π x}{3}) = \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{π}{3}} \cdot 0$

Étape 2.2.2.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (\frac{π x}{3}) = - \frac{1}{\frac{π}{3}} \cdot 0$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (\frac{π x}{3}) = - (1 \frac{3}{π}) \cdot 0$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $\frac{3}{π}$ par $1$ .

$\sin (\frac{π x}{3}) = - \frac{3}{π} \cdot 0$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- \frac{3}{π} \cdot 0$ .

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Étape 2.2.2.1.6.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\sin (\frac{π x}{3}) = 0 \frac{3}{π}$

Étape 2.2.2.1.6.2

Multipliez $0$ par $\frac{3}{π}$ .

$\sin (\frac{π x}{3}) = 0$

Étape 2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{π x}{3} = \arcsin (0)$

Étape 2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{π x}{3} = 0$

Étape 2.5

Définissez le numérateur égal à zéro.

$π x = 0$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $π x = 0$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $π x = 0$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Étape 2.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.1

Divisez $0$ par $π$ .

$x = 0$

Étape 2.7

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{π x}{3} = π - 0$

Étape 2.8

Résolvez $x$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{π}$ .

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (π - 0)$

Étape 2.8.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.8.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.8.2.1.1

Simplifiez $\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3}$ .

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Étape 2.8.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.8.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{π} \cdot \frac{π x}{3} = \frac{3}{π} (π - 0)$

Étape 2.8.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (π - 0)$

Étape 2.8.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.8.2.1.1.2.1

Factorisez $π$ à partir de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{3}{π} (π - 0)$

Étape 2.8.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{3}{π} (π - 0)$

Étape 2.8.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{π} (π - 0)$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{π} (π - 0)$ .

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Étape 2.8.2.2.1.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = \frac{3}{π} π$

Étape 2.8.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.8.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3}{π} π$

Étape 2.8.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = 3$

Étape 2.9

Déterminez la période de $\sin (\frac{π x}{3})$ .

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Étape 2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.9.2

Remplacez $b$ par $\frac{π}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{3} |}$

Étape 2.9.3

$\frac{π}{3}$ est d’environ $1.04719755$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{π}{3}}$

Étape 2.9.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{3}{π}$

Étape 2.9.5

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.9.5.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Étape 2.9.5.2

Annulez le facteur commun.

$π \cdot 2 \frac{3}{π}$

Étape 2.9.5.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot 3$

Étape 2.9.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$6$

Étape 2.10

La période de la fonction $\sin (\frac{π x}{3})$ est $6$ si bien que les valeurs se répètent tous les $6$ radians dans les deux sens.

$x = 6 n, 3 + 6 n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.11

Consolidez les réponses.

$x = 3 n$ , pour tout entier $n$

Étape 3