Ensembles finis Exemples

$8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez $8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Étape 1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25, \pm 12, \pm 1.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 0.75, \pm 0.375, \pm 4$

Étape 1.1.3

Remplacez $- 0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.1.3.1

Remplacez $- 0.5$ dans le polynôme.

$8 {(- 0.5)}^{3} - 34 {(- 0.5)}^{2} + 5 \cdot - 0.5 + 12$

Étape 1.1.3.2

Élevez $- 0.5$ à la puissance $3$ .

$8 \cdot - 0.125 - 34 {(- 0.5)}^{2} + 5 \cdot - 0.5 + 12$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $8$ par $- 0.125$ .

$- 1 - 34 {(- 0.5)}^{2} + 5 \cdot - 0.5 + 12$

Étape 1.1.3.4

Élevez $- 0.5$ à la puissance $2$ .

$- 1 - 34 \cdot 0.25 + 5 \cdot - 0.5 + 12$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $- 34$ par $0.25$ .

$- 1 - 8.5 + 5 \cdot - 0.5 + 12$

Étape 1.1.3.6

Soustrayez $8.5$ de $- 1$ .

$- 9.5 + 5 \cdot - 0.5 + 12$

Étape 1.1.3.7

Multipliez $5$ par $- 0.5$ .

$- 9.5 - 2.5 + 12$

Étape 1.1.3.8

Soustrayez $2.5$ de $- 9.5$ .

$- 12 + 12$

Étape 1.1.3.9

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$0$

Étape 1.1.4

Comme $- 0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12}{2 x + 1}$

Étape 1.1.5

Divisez $8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12$ par $2 x + 1$ .

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Étape 1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$8 x^{3}$

$34 x^{2}$

$5 x$

$12$

Étape 1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $8 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$4 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$

Étape 1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			+	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Étape 1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $8 x^{3} + 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Étape 1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$

Étape 1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$

Étape 1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 38 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$

Étape 1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$38 x^{2}$	-	$19 x$

Étape 1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 38 x^{2} - 19 x$

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$

Étape 1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$

Étape 1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$

Étape 1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $24 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$

Étape 1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	+	$12$

Étape 1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $24 x + 12$

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	-	$12$

Étape 1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	-	$12$
										$0$

Étape 1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$4 x^{2} - 19 x + 12$

Étape 1.1.6

Écrivez $8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 19 x + 12) = 0$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 12 = 48$ et dont la somme est $b = - 19$ .

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Étape 1.2.1.1.1

Factorisez $- 19$ à partir de $- 19 x$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 19 x + 12) = 0$

Étape 1.2.1.1.2

Réécrivez $- 19$ comme $- 3$ plus $- 16$

$(2 x + 1) (4 x^{2} + (- 3 - 16) x + 12) = 0$

Étape 1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 3 x - 16 x + 12) = 0$

Étape 1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x + 1) ((4 x^{2} - 3 x) - 16 x + 12) = 0$

Étape 1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(2 x + 1) (x (4 x - 3) - 4 (4 x - 3)) = 0$

Étape 1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x - 3$ .

$(2 x + 1) ((4 x - 3) (x - 4)) = 0$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x + 1) (4 x - 3) (x - 4) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$4 x - 3 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 3

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 4

Définissez $4 x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $4 x - 3$ égal à $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $4 x - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 3$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 3$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Étape 5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (4 x - 3) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 4$

Étape 7