Ensembles finis Exemples

Trouver les racines (zéros) 8x^3-34x^2+5x+12=0
Étape 1
Factorisez le côté gauche de l’équation.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Factorisez en utilisant le test des racines rationnelles.
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Étape 1.1.1
Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme est un facteur de la constante et est un facteur du coefficient directeur.
Étape 1.1.2
Déterminez chaque combinaison de . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.
Étape 1.1.3
Remplacez et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à donc est une racine du polynôme.
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Étape 1.1.3.1
Remplacez dans le polynôme.
Étape 1.1.3.2
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.3.3
Multipliez par .
Étape 1.1.3.4
Élevez à la puissance .
Étape 1.1.3.5
Multipliez par .
Étape 1.1.3.6
Soustrayez de .
Étape 1.1.3.7
Multipliez par .
Étape 1.1.3.8
Soustrayez de .
Étape 1.1.3.9
Additionnez et .
Étape 1.1.4
Comme est une racine connue, divisez le polynôme par pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.
Étape 1.1.5
Divisez par .
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Étape 1.1.5.1
Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de .
+-++
Étape 1.1.5.2
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
+-++
Étape 1.1.5.3
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
+-++
++
Étape 1.1.5.4
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
+-++
--
Étape 1.1.5.5
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
+-++
--
-
Étape 1.1.5.6
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
+-++
--
-+
Étape 1.1.5.7
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
-
+-++
--
-+
Étape 1.1.5.8
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-
+-++
--
-+
--
Étape 1.1.5.9
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
-
+-++
--
-+
++
Étape 1.1.5.10
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-
+-++
--
-+
++
+
Étape 1.1.5.11
Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.
-
+-++
--
-+
++
++
Étape 1.1.5.12
Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende par le terme du plus haut degré dans le diviseur .
-+
+-++
--
-+
++
++
Étape 1.1.5.13
Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.
-+
+-++
--
-+
++
++
++
Étape 1.1.5.14
L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans
-+
+-++
--
-+
++
++
--
Étape 1.1.5.15
Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.
-+
+-++
--
-+
++
++
--
Étape 1.1.5.16
Comme le reste est , la réponse finale est le quotient.
Étape 1.1.6
Écrivez comme un ensemble de facteurs.
Étape 1.2
Factorisez par regroupement.
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Étape 1.2.1
Factorisez par regroupement.
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Étape 1.2.1.1
Pour un polynôme de la forme , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est et dont la somme est .
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Étape 1.2.1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.2.1.1.2
Réécrivez comme plus
Étape 1.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2.1.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
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Étape 1.2.1.2.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
Étape 1.2.1.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 1.2.1.3
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, .
Étape 1.2.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 3
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 3.1
Définissez égal à .
Étape 3.2
Résolvez pour .
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Étape 3.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 3.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
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Étape 3.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 3.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 3.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
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Étape 3.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 3.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
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Étape 3.2.2.3.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 4.1
Définissez égal à .
Étape 4.2
Résolvez pour .
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Étape 4.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 4.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 4.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 4.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
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Étape 4.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 4.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 5
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 5.1
Définissez égal à .
Étape 5.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 7