Ensembles finis Exemples

$3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Factorisez $3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

Étape 1.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$3 {(- 1)}^{3} + 10 {(- 1)}^{2} - 1 - 6$

Étape 1.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$3 \cdot - 1 + 10 {(- 1)}^{2} - 1 - 6$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 + 10 {(- 1)}^{2} - 1 - 6$

Étape 1.1.3.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 3 + 10 \cdot 1 - 1 - 6$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $10$ par $1$ .

$- 3 + 10 - 1 - 6$

Étape 1.1.3.6

Additionnez $- 3$ et $10$ .

$7 - 1 - 6$

Étape 1.1.3.7

Soustrayez $1$ de $7$ .

$6 - 6$

Étape 1.1.3.8

Soustrayez $6$ de $6$ .

$0$

Étape 1.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6}{x + 1}$

Étape 1.1.5

Divisez $3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6$ par $x + 1$ .

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Étape 1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$6$

Étape 1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$

Étape 1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Étape 1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$

Étape 1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $7 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$

Étape 1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Étape 1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $7 x^{2} + 7 x$

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$

Étape 1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$

Étape 1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$

Étape 1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Étape 1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x - 6$

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Étape 1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	+	$7 x$	-	$6$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	+	$10 x^{2}$	+	$x$	-	$6$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Étape 1.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$3 x^{2} + 7 x - 6$

Étape 1.1.6

Écrivez $3 x^{3} + 10 x^{2} + x - 6$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 1) (3 x^{2} + 7 x - 6) = 0$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 1.2.1.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$(x + 1) (3 x^{2} + 7 (x) - 6) = 0$

Étape 1.2.1.1.2

Réécrivez $7$ comme $- 2$ plus $9$

$(x + 1) (3 x^{2} + (- 2 + 9) x - 6) = 0$

Étape 1.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) (3 x^{2} - 2 x + 9 x - 6) = 0$

Étape 1.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) ((3 x^{2} - 2 x) + 9 x - 6) = 0$

Étape 1.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) (x (3 x - 2) + 3 (3 x - 2)) = 0$

Étape 1.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 2$ .

$(x + 1) ((3 x - 2) (x + 3)) = 0$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (3 x - 2) (x + 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $3 x - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (3 x - 2) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{2}{3}, - 3$

Étape 7