Ensembles finis Exemples

$2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4 = 0$

Étape 1

Factorisez $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Étape 1.3

Remplacez $- 0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $- 0.5$ dans le polynôme.

$2 {(- 0.5)}^{3} - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Étape 1.3.2

Élevez $- 0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 0.125$ .

$- 0.25 - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Étape 1.3.4

Élevez $- 0.5$ à la puissance $2$ .

$- 0.25 - 1 \cdot 0.25 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 1$ par $0.25$ .

$- 0.25 - 0.25 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Étape 1.3.6

Soustrayez $0.25$ de $- 0.25$ .

$- 0.5 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 9$ par $- 0.5$ .

$- 0.5 + 4.5 - 4$

Étape 1.3.8

Additionnez $- 0.5$ et $4.5$ .

$4 - 4$

Étape 1.3.9

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $- 0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4}{2 x + 1}$

Étape 1.5

Divisez $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ par $2 x + 1$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$9 x$

$4$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	-	$4$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x - 4$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	+	$4$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	+	$4$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - x - 4$

Étape 1.6

Écrivez $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x + 1) (x^{2} - x - 4) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x^{2} - x - 4 = 0$

Étape 3

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 4

Définissez $x^{2} - x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} - x - 4$ égal à $0$ .

$x^{2} - x - 4 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} - x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = - 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.3

Additionnez $1$ et $16$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (x^{2} - x - 4) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Forme décimale :

$x = - 0.5, 2.56155281 \dots, - 1.56155281 \dots$

Étape 7