Ensembles finis Exemples

$x^{4} + 8 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 7 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Regroupez les termes.

$8 x^{3} + 8 x^{2} + x^{4} + 8 x + 7 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $8 x^{3} + 8 x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $8 x^{3}$ .

$8 x^{2} (x) + 8 x^{2} + x^{4} + 8 x + 7 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $8 x^{2}$ .

$8 x^{2} (x) + 8 x^{2} (1) + x^{4} + 8 x + 7 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $8 x^{2} (x) + 8 x^{2} (1)$ .

$8 x^{2} (x + 1) + x^{4} + 8 x + 7 = 0$

Étape 1.3

Factorisez $x^{4} + 8 x + 7$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

Étape 1.3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 7$

Étape 1.3.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{4} + 8 \cdot - 1 + 7$

Étape 1.3.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 + 8 \cdot - 1 + 7$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$1 - 8 + 7$

Étape 1.3.3.4

Soustrayez $8$ de $1$ .

$- 7 + 7$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$0$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} + 8 x + 7}{x + 1}$

Étape 1.3.5

Divisez $x^{4} + 8 x + 7$ par $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

Étape 1.3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

Étape 1.3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 1.3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} + x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 1.3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 1.3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 1.3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 1.3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 1.3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} - x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 1.3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 1.3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

Étape 1.3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

Étape 1.3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

Étape 1.3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

Étape 1.3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

Étape 1.3.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

Étape 1.3.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $7 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$7$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

Étape 1.3.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$7$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

$7 x$

$7$

Étape 1.3.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $7 x + 7$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$7$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

$7 x$

$7$

Étape 1.3.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$7$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$7$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x^{2}$

$x$

$7 x$

$7$

$7 x$

$7$

$0$

Étape 1.3.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} - x^{2} + x + 7$

Étape 1.3.6

Écrivez $x^{4} + 8 x + 7$ comme un ensemble de facteurs.

$8 x^{2} (x + 1) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 7) = 0$

Étape 1.4

Factorisez $x + 1$ à partir de $8 x^{2} (x + 1) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 7)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $8 x^{2} (x + 1)$ .

$(x + 1) (8 x^{2}) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 7) = 0$

Étape 1.4.2

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x + 1) (8 x^{2}) + (x + 1) (x^{3} - x^{2} + x + 7)$ .

$(x + 1) (8 x^{2} + x^{3} - x^{2} + x + 7) = 0$

Étape 1.5

Soustrayez $x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} + 7 x^{2} + x + 7) = 0$

Étape 1.6

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Réécrivez $x^{3} + 7 x^{2} + x + 7$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) ((x^{3} + 7 x^{2}) + x + 7) = 0$

Étape 1.6.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) (x^{2} (x + 7) + 1 (x + 7)) = 0$

Étape 1.6.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 7$ .

$(x + 1) ((x + 7) (x^{2} + 1)) = 0$

Étape 1.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x + 7) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 7 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 5

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 5.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x + 7) (x^{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 7, i, - i$

Étape 7