Ensembles finis Exemples

$x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$

Étape 1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + 10 u + 9 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2

Factorisez $u^{2} + 10 u + 9$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $9$ et dont la somme est $10$ .

$1, 9$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u + 1) (u + 9) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u + 1 = 0$

$u + 9 = 0$

Étape 4

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 5

Définissez $u + 9$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 5.1

Définissez $u + 9$ égal à $0$ .

$u + 9 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 9$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u + 1) (u + 9) = 0$ vraie.

$u = - 1, - 9$

Étape 7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = - 1$

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Étape 8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = - 1$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 9.2

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 9$

Étape 11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 9$

Étape 11.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 11.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 11.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 11.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 11.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 11.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 12

La solution à $x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$ est $x = i, - i, 3 i, - 3 i$ .

$x = i, - i, 3 i, - 3 i$

Étape 13