Ensembles finis Exemples

$x + 2 x^{2} = - 1$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $x$ et $2 x^{2}$ .

$2 x^{2} + x = - 1$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} + x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} + x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} + \frac{x}{2} = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{1}{4})}^{2}$

Étape 4

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$x^{2} + \frac{x}{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} = - \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1^{2}}{4^{2}} = - \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{4^{2}} = - \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $- \frac{1}{2} + {(\frac{1}{4})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{16}$

Étape 5.2.1.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{16}$

Étape 5.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{8}{2 \cdot 8} + \frac{1}{16}$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{8}{16} + \frac{1}{16}$

Étape 5.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{- 8 + 1}{16}$

Étape 5.2.1.5

Additionnez $- 8$ et $1$ .

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{- 7}{16}$

Étape 5.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{7}{16}$

Étape 6

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(x + \frac{1}{4})}^{2}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} = - \frac{7}{16}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{- \frac{7}{16}}$

Étape 7.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{7}{16}}$ .

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Étape 7.2.1

Réécrivez $- \frac{7}{16}$ comme ${(\frac{i}{4})}^{2} \cdot 7$ .

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Étape 7.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{16}}$

Étape 7.2.1.2

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $7$ .

$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{16}}$

Étape 7.2.1.3

Factorisez la puissance parfaite $4^{2}$ dans $16$ .

$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{4^{2} \cdot 1}}$

Étape 7.2.1.4

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} \cdot 7}{4^{2} \cdot 1}$ .

$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{4})}^{2} \cdot 7)}$

Étape 7.2.1.5

Réécrivez $i^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}$ comme ${(\frac{i}{4})}^{2}$ .

$x + \frac{1}{4} = \pm \sqrt{{(\frac{i}{4})}^{2} \cdot 7}$

Étape 7.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x + \frac{1}{4} = \pm \frac{i}{4} \sqrt{7}$

Étape 7.2.3

Associez $\frac{i}{4}$ et $\sqrt{7}$ .

$x + \frac{1}{4} = \pm \frac{i \sqrt{7}}{4}$

Étape 7.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.1

Soustrayez $\frac{1}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \pm \frac{i \sqrt{7}}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 7.3.2

Remettez dans l’ordre $\pm \frac{i \sqrt{7}}{4}$ et $- \frac{1}{4}$ .

$x = - \frac{1}{4} \pm \frac{i \sqrt{7}}{4}$