Ensembles finis Exemples

$X^{2} + X + 1 = 0$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$X^{2} + X = - 1$

Étape 2

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 3

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$X^{2} + X + {(\frac{1}{2})}^{2} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$X^{2} + X + \frac{1^{2}}{2^{2}} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$X^{2} + X + \frac{1}{2^{2}} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Étape 4.2.1.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Étape 4.2.1.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1}{4}$

Étape 4.2.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 4.2.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 4.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{4}$

Étape 4.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = \frac{- 4 + 1}{4}$

Étape 4.2.1.5.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 4.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4}$

Étape 5

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(X + \frac{1}{2})}^{2}$ .

${(X + \frac{1}{2})}^{2} = - \frac{3}{4}$

Étape 6

Résolvez l’équation pour $X$ .

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Étape 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Étape 6.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez $- \frac{3}{4}$ comme ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Étape 6.2.1.2

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $3$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Étape 6.2.1.3

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 6.2.1.4

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Étape 6.2.1.5

Réécrivez $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ comme ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Étape 6.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$X + \frac{1}{2} = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Étape 6.2.3

Associez $\frac{i}{2}$ et $\sqrt{3}$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $X$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$X = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.2

Remettez dans l’ordre $\pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$ et $- \frac{1}{2}$ .

$X = - \frac{1}{2} \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$