Ensembles finis Exemples

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$

Étape 1

Définissez $x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$- 3 x^{3} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{3} + 3 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $3 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 1 + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 1)$ .

$- 3 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez.

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Étape 2.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$- 3 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 2.1.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Étape 2.1.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $u^{2} - 5 u + 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $4$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 4, - 1$

Étape 2.1.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (u - 4) (u - 1) = 0$

Étape 2.1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.1.9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.1.10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.1.11

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 2.1.12

Factorisez.

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Étape 2.1.12.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 2.1.12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.1.13

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 2.1.13.1

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $- 3 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.1.13.2

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 2.1.13.3

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 2.1.14

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Étape 2.1.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Étape 2.1.14.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 2.1.15

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 2.1.15.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 2.1.15.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 2.1.15.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 2.1.16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.16.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Étape 2.1.16.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Étape 2.1.17

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Étape 2.1.18

Factorisez.

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Étape 2.1.18.1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.18.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 2.1.18.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) (x - 1) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Étape 2.1.18.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 1) (x - 4) (x + 1) = 0$

Étape 2.1.19

Associez les exposants.

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Étape 2.1.19.1

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

Étape 2.1.19.2

Élevez $x + 1$ à la puissance $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

Étape 2.1.19.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x - 4) = 0$

Étape 2.1.19.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2.3

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez ${(x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1, 4$

Étape 3