Ensembles finis Exemples

$f (x) = x^{4} + 55 x^{2} - 576$

Étape 1

Définissez $x^{4} + 55 x^{2} - 576$ égal à $0$ .

$x^{4} + 55 x^{2} - 576 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + 55 u - 576 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2.2

Factorisez $u^{2} + 55 u - 576$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 576$ et dont la somme est $55$ .

$- 9, 64$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 9) (u + 64) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 9 = 0$

$u + 64 = 0$

Étape 2.4

Définissez $u - 9$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $u - 9$ égal à $0$ .

$u - 9 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 9$

Étape 2.5

Définissez $u + 64$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $u + 64$ égal à $0$ .

$u + 64 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 64$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 9) (u + 64) = 0$ vraie.

$u = 9, - 64$

Étape 2.7

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = - 64$

Étape 2.8

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 9$

Étape 2.9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.9.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 2.9.2

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 2.9.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 2.9.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 2.9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.9.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 2.9.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 2.9.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 2.10

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 64$

Étape 2.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.11.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 64$

Étape 2.11.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 64}$

Étape 2.11.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 64}$ .

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Étape 2.11.3.1

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (64)}$

Étape 2.11.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (64)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$

Étape 2.11.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{64}$

Étape 2.11.3.4

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}$

Étape 2.11.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 8$

Étape 2.11.3.6

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 8 i$

Étape 2.11.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.11.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 8 i$

Étape 2.11.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 8 i$

Étape 2.11.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 8 i, - 8 i$

Étape 2.12

La solution à $x^{4} + 55 x^{2} - 576 = 0$ est $x = 3, - 3, 8 i, - 8 i$ .

$x = 3, - 3, 8 i, - 8 i$

Étape 3