Ensembles finis Exemples

$f (x) = x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 18$

Étape 1

Définissez $x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 18$ égal à $0$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 18 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$4 x^{3} - 12 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 12 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 12 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 12 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$4 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Étape 2.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$4 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 3 u - 18 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $u^{2} + 3 u - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $3$ .

$- 3, 6$

Étape 2.1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 6) = 0$

Étape 2.1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $4 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $4 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (4 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $(x^{2} - 3) (4 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

$(x^{2} - 3) (4 x + x^{2} + 6) = 0$

Étape 2.1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 4 x + 6) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 4 x + 6 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 2.3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 2.3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 2.3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 2.4

Définissez $x^{2} + 4 x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2} + 4 x + 6$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 x + 6 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} + 4 x + 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Soustrayez $24$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.4.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm i \sqrt{2}$

Étape 2.4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + i \sqrt{2}, - 2 - i \sqrt{2}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 3) (x^{2} + 4 x + 6) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - 2 + i \sqrt{2}, - 2 - i \sqrt{2}$

Étape 3