Ensembles finis Exemples

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 10 x^{2} - 26 x + 33$

Étape 1

Définissez $x^{4} + 2 x^{3} - 10 x^{2} - 26 x + 33$ égal à $0$ .

$x^{4} + 2 x^{3} - 10 x^{2} - 26 x + 33 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{4} + 2 x^{3} - 10 x^{2} - 26 x + 33$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 33, \pm 3, \pm 11$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 33, \pm 3, \pm 11$

Étape 2.1.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{4} + 2 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1^{2} - 26 \cdot 1 + 33$

Étape 2.1.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $4$ .

$1 + 2 \cdot 1^{3} - 10 \cdot 1^{2} - 26 \cdot 1 + 33$

Étape 2.1.1.3.3

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 + 2 \cdot 1 - 10 \cdot 1^{2} - 26 \cdot 1 + 33$

Étape 2.1.1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$1 + 2 - 10 \cdot 1^{2} - 26 \cdot 1 + 33$

Étape 2.1.1.3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 - 10 \cdot 1^{2} - 26 \cdot 1 + 33$

Étape 2.1.1.3.6

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$3 - 10 \cdot 1 - 26 \cdot 1 + 33$

Étape 2.1.1.3.7

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$3 - 10 - 26 \cdot 1 + 33$

Étape 2.1.1.3.8

Soustrayez $10$ de $3$ .

$- 7 - 26 \cdot 1 + 33$

Étape 2.1.1.3.9

Multipliez $- 26$ par $1$ .

$- 7 - 26 + 33$

Étape 2.1.1.3.10

Soustrayez $26$ de $- 7$ .

$- 33 + 33$

Étape 2.1.1.3.11

Additionnez $- 33$ et $33$ .

$0$

Étape 2.1.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 10 x^{2} - 26 x + 33}{x - 1}$

Étape 2.1.1.5

Divisez $x^{4} + 2 x^{3} - 10 x^{2} - 26 x + 33$ par $x - 1$ .

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Étape 2.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

Étape 2.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

Étape 2.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 2.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 2.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

Étape 2.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x^{3} - 3 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{2}$

Étape 2.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{2}$

$26 x$

Étape 2.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 7 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{2}$

$26 x$

Étape 2.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{2}$

$26 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

Étape 2.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 7 x^{2} + 7 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{2}$

$26 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

Étape 2.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{2}$

$26 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$33 x$

Étape 2.1.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{2}$

$26 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$33 x$

$33$

Étape 2.1.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 33 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$33$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{2}$

$26 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$33 x$

$33$

Étape 2.1.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$33$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{2}$

$26 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$33 x$

$33$

$33 x$

$33$

Étape 2.1.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 33 x + 33$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$33$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{2}$

$26 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$33 x$

$33$

$33 x$

$33$

Étape 2.1.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$33$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$10 x^{2}$

$26 x$

$33$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$10 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x^{2}$

$26 x$

$7 x^{2}$

$7 x$

$33 x$

$33$

$33 x$

$33$

$0$

Étape 2.1.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 33$

Étape 2.1.1.6

Écrivez $x^{4} + 2 x^{3} - 10 x^{2} - 26 x + 33$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) (x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 33) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 33$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 33$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 33, \pm 3, \pm 11$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 33, \pm 3, \pm 11$

Étape 2.1.2.1.3

Remplacez $3$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $3$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Remplacez $3$ dans le polynôme.

$3^{3} + 3 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 - 33$

Étape 2.1.2.1.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 + 3 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 - 33$

Étape 2.1.2.1.3.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$27 + 3 \cdot 9 - 7 \cdot 3 - 33$

Étape 2.1.2.1.3.4

Multipliez $3$ par $9$ .

$27 + 27 - 7 \cdot 3 - 33$

Étape 2.1.2.1.3.5

Additionnez $27$ et $27$ .

$54 - 7 \cdot 3 - 33$

Étape 2.1.2.1.3.6

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$54 - 21 - 33$

Étape 2.1.2.1.3.7

Soustrayez $21$ de $54$ .

$33 - 33$

Étape 2.1.2.1.3.8

Soustrayez $33$ de $33$ .

$0$

Étape 2.1.2.1.4

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 33}{x - 3}$

Étape 2.1.2.1.5

Divisez $x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 33$ par $x - 3$ .

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Étape 2.1.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$33$

Étape 2.1.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$33$

Étape 2.1.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$33$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 2.1.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 2.1.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Étape 2.1.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 2.1.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 2.1.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

Étape 2.1.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{2} - 18 x$

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

Étape 2.1.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$11 x$

Étape 2.1.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$11 x$	-	$33$

Étape 2.1.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $11 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$11$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$11 x$	-	$33$

Étape 2.1.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$11$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$11 x$	-	$33$
							+	$11 x$	-	$33$

Étape 2.1.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $11 x - 33$

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$11$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$11 x$	-	$33$
							-	$11 x$	+	$33$

Étape 2.1.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$6 x$	+	$11$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$33$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$
							+	$11 x$	-	$33$
							-	$11 x$	+	$33$
										$0$

Étape 2.1.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 6 x + 11$

Étape 2.1.2.1.6

Écrivez $x^{3} + 3 x^{2} - 7 x - 33$ comme un ensemble de facteurs.

$(x - 1) ((x - 3) (x^{2} + 6 x + 11)) = 0$

Étape 2.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x - 3) (x^{2} + 6 x + 11) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 6 x + 11 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} + 6 x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} + 6 x + 11$ égal à $0$ .

$x^{2} + 6 x + 11 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} + 6 x + 11 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 6$ et $c = 11$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $11$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 44}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $44$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.5.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 3 \pm i \sqrt{2}$

Étape 2.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 3 + i \sqrt{2}, - 3 - i \sqrt{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x - 3) (x^{2} + 6 x + 11) = 0$ vraie.

$x = 1, 3, - 3 + i \sqrt{2}, - 3 - i \sqrt{2}$

Étape 3