Ensembles finis Exemples

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 x^{2} + 2 x - 4}{42 - 6 x}}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $2 x^{2} + 2 x - 4$ et $42 - 6 x$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2}) + 2 x - 4}{42 - 6 x}}$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2}) + 2 (x) - 4}{42 - 6 x}}$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (x)$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2} + x) - 4}{42 - 6 x}}$

Étape 1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2} + x) + 2 (- 2)}{42 - 6 x}}$

Étape 1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} + x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{42 - 6 x}}$

Étape 1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $42$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{2 (21) - 6 x}}$

Étape 1.6.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{2 (21) + 2 (- 3 x)}}$

Étape 1.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (21) + 2 (- 3 x)$ .

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{2 (21 - 3 x)}}$

Étape 1.6.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{2 (21 - 3 x)}}$

Étape 1.6.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49}}{\frac{x^{2} + x - 2}{21 - 3 x}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 (x) - 2}{x^{2} - 14 x + 49} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2}{x^{2} - 14 x + 49} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2}{x^{2} - 14 x + 49} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1)}{x^{2} - 14 x + 49} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{x^{2} - 14 x + 49} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{x^{2} - 14 x + 7^{2}} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Étape 4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 7$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{21 - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 5

Factorisez $3$ à partir de $21 - 3 x$ .

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Étape 5.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{3 (7) - 3 x}{x^{2} + x - 2}$

Étape 5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{3 (7) + 3 (- x)}{x^{2} + x - 2}$

Étape 5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (7) + 3 (- x)$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{3 (7 - x)}{x^{2} + x - 2}$

Étape 6

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{3 (7 - x)}{(x - 1) (x + 2)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez.

$\frac{(2 x - 1) (x + 2) (3 (7 - x))}{{(x - 7)}^{2} ((x - 1) (x + 2))}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x - 1) (x + 2) (3 (7 - x))}{{(x - 7)}^{2} ((x - 1) (x + 2))}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 x - 1) (3 (7 - x))}{{(x - 7)}^{2} (x - 1)}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $7 - x$ et ${(x - 7)}^{2}$ .

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Étape 7.3.1

Réécrivez $7$ comme $- 1 (- 7)$ .

$\frac{(2 x - 1) (3 (- 1 (- 7) - x))}{{(x - 7)}^{2} (x - 1)}$

Étape 7.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(2 x - 1) (3 (- 1 (- 7) - (x)))}{{(x - 7)}^{2} (x - 1)}$

Étape 7.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 7) - (x)$ .

$\frac{(2 x - 1) (3 (- 1 (- 7 + x)))}{{(x - 7)}^{2} (x - 1)}$

Étape 7.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3 (- 1 (x - 7))}{{(x - 7)}^{2} (x - 1)}$

Étape 7.3.5

Factorisez $x - 7$ à partir de $(2 x - 1) \cdot 3 (- 1 (x - 7))$ .

$\frac{(x - 7) ((2 x - 1) \cdot 3 \cdot (- 1))}{{(x - 7)}^{2} (x - 1)}$

Étape 7.3.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.6.1

Factorisez $x - 7$ à partir de ${(x - 7)}^{2} (x - 1)$ .

$\frac{(x - 7) ((2 x - 1) \cdot 3 \cdot (- 1))}{(x - 7) ((x - 7) (x - 1))}$

Étape 7.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 7) ((2 x - 1) \cdot 3 \cdot (- 1))}{(x - 7) ((x - 7) (x - 1))}$

Étape 7.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 x - 1) \cdot 3 \cdot (- 1)}{(x - 7) (x - 1)}$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot - 3}{(x - 7) (x - 1)}$

Étape 7.4.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $2 x - 1$ .

$\frac{- 3 \cdot (2 x - 1)}{(x - 7) (x - 1)}$

Étape 7.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (2 x - 1)}{(x - 7) (x - 1)}$