Ensembles finis Exemples

$\frac{\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 10 x + 25}}{\frac{3 x - 12}{x^{2} - 3 x - 10}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x^{2} - 16}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 10 x + 25} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

Étape 3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 10 x + 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

Étape 3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 3 x - 10}{3 x - 12}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 5, 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{(x - 5) (x + 2)}{3 x - 12}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 12$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{(x - 5) (x + 2)}{3 (x) - 12}$

Étape 5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{(x - 5) (x + 2)}{3 x + 3 \cdot - 4}$

Étape 5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 4$ .

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{(x - 5) (x + 2)}{3 (x - 4)}$

Étape 5.2

Associez.

$\frac{(x + 4) (x - 4) ((x - 5) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} (3 (x - 4))}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 4) (x - 4) ((x - 5) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} (3 (x - 4))}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 4) ((x - 5) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} \cdot (3)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à $x - 5$ et ${(x - 5)}^{2}$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x - 5$ à partir de $(x + 4) ((x - 5) (x + 2))$ .

$\frac{(x - 5) ((x + 4) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} \cdot (3)}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $x - 5$ à partir de ${(x - 5)}^{2} \cdot (3)$ .

$\frac{(x - 5) ((x + 4) (x + 2))}{(x - 5) ((x - 5) \cdot 3)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 5) ((x + 4) (x + 2))}{(x - 5) ((x - 5) \cdot 3)}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 4) (x + 2)}{(x - 5) \cdot 3}$

Étape 5.5

Déplacez $3$ à gauche de $x - 5$ .

$\frac{(x + 4) (x + 2)}{3 (x - 5)}$