Ensembles finis Exemples

$\frac{\frac{x^{2} - y^{2}}{x y}}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y} - \frac{1}{x}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Pour écrire $\frac{1}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}$

Étape 3.2

Pour écrire $- \frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y}}$

Étape 3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{x}{y x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{x}{y x} - \frac{y}{x y}}$

Étape 3.3.3

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{x}{x y} - \frac{y}{x y}}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{1}{\frac{x - y}{x y}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} (1 \frac{x y}{x - y})$

Étape 5

Multipliez $\frac{x y}{x - y}$ par $1$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x y} \cdot \frac{x y}{x - y}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $x - y$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x - y$ à partir de $(x + y) (x - y)$ .

$\frac{(x - y) (x + y)}{x y} \cdot \frac{x y}{x - y}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - y) (x + y)}{x y} \cdot \frac{x y}{x - y}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + y}{x y} (x y)$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x y$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + y}{x y} (x y)$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$x + y$