Ensembles finis Exemples

$\frac{\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{x - y}}{x y}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{x - y} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x y$ .

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{x - y}$ par $\frac{x y}{x y}$ .

$\frac{x y}{x y} \cdot \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}{x - y} \frac{1}{x y}$

Étape 2.2

Associez.

$\frac{x y (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x y (x - y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x y \frac{1}{x} + x y (- \frac{1}{y})}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 4

Simplifiez en annulant.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{x (y) \frac{1}{x} + x y (- \frac{1}{y})}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{1}{x} + x y (- \frac{1}{y})}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + x y (- \frac{1}{y})}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{y + x y \frac{- 1}{y}}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{y + y x \frac{- 1}{y}}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + y x \frac{- 1}{y}}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + x \cdot - 1}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{y - 1 \cdot x}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 5.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{y - x}{x y x + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{y - x}{x \cdot x y + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{y - x}{x^{2} y + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y - x}{x^{2} y - x y \cdot y} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 6.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y - x}{x^{2} y - x (y \cdot y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 6.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{y - x}{x^{2} y - x y^{2}} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 6.4

Factorisez $x y$ à partir de $x^{2} y - x y^{2}$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $x y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{y - x}{x y (x) - x y^{2}} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 6.4.2

Factorisez $x y$ à partir de $- x y^{2}$ .

$\frac{y - x}{x y (x) + x y (- y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 6.4.3

Factorisez $x y$ à partir de $x y (x) + x y (- y)$ .

$\frac{y - x}{x y (x - y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $y - x$ et $x - y$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{- 1 (- y) - x}{x y (x - y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- 1 (- y) - (x)}{x y (x - y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 7.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- y) - (x)$ .

$\frac{- 1 (- y + x)}{x y (x - y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 7.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (x - y)}{x y (x - y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 7.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x - y)}{x y (x - y)} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 7.1.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x y} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x y} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 8

Multipliez $- \frac{1}{x y} \cdot \frac{1}{x y}$ .

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{x y}$ par $\frac{1}{x y}$ .

$- \frac{1}{x y (x y)}$

Étape 8.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x y \cdot y}$

Étape 8.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x^{1} y \cdot y}$

Étape 8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{x^{1 + 1} y \cdot y}$

Étape 8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} y \cdot y}$

Étape 8.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} (y^{1} y)}$

Étape 8.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} (y^{1} y^{1})}$

Étape 8.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{x^{2} y^{1 + 1}}$

Étape 8.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{x^{2} y^{2}}$