Ensembles finis Exemples

$\frac{{(\frac{5 - i}{7 + i})}^{2}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 - i}{7 + i}$ .

$\frac{\frac{{(5 - i)}^{2}}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(5 - i)}^{2}$ comme $(5 - i) (5 - i)$ .

$\frac{\frac{(5 - i) (5 - i)}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.3

Développez $(5 - i) (5 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{5 (5 - i) - i (5 - i)}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{5 \cdot 5 + 5 (- i) - i (5 - i)}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{5 \cdot 5 + 5 (- i) - i \cdot 5 - i (- i)}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{\frac{25 + 5 (- i) - i \cdot 5 - i (- i)}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{\frac{25 - 5 i - i \cdot 5 - i (- i)}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.4.1.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{25 - 5 i - 5 i - i (- i)}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.4.1.4

Multipliez $- i (- i)$ .

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Étape 1.4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{25 - 5 i - 5 i + 1 i i}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.4.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{25 - 5 i - 5 i + 1 (i^{1} i)}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.4.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{25 - 5 i - 5 i + 1 (i^{1} i^{1})}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{25 - 5 i - 5 i + 1 i^{1 + 1}}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{25 - 5 i - 5 i + 1 i^{2}}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.4.1.4.6

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$\frac{\frac{25 - 5 i - 5 i + i^{2}}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.4.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{\frac{25 - 5 i - 5 i - 1}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.4.2

Soustrayez $1$ de $25$ .

$\frac{\frac{24 - 5 i - 5 i}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.4.3

Soustrayez $5 i$ de $- 5 i$ .

$\frac{\frac{24 - 10 i}{{(7 + i)}^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.5

Réécrivez ${(7 + i)}^{2}$ comme $(7 + i) (7 + i)$ .

$\frac{\frac{24 - 10 i}{(7 + i) (7 + i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.6

Développez $(7 + i) (7 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{24 - 10 i}{7 (7 + i) + i (7 + i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{24 - 10 i}{7 \cdot 7 + 7 i + i (7 + i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{24 - 10 i}{7 \cdot 7 + 7 i + i \cdot 7 + i i}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{\frac{24 - 10 i}{49 + 7 i + i \cdot 7 + i i}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.7.1.2

Déplacez $7$ à gauche de $i$ .

$\frac{\frac{24 - 10 i}{49 + 7 i + 7 \cdot i + i i}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $i i$ .

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Étape 1.7.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{24 - 10 i}{49 + 7 i + 7 i + i^{1} i}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.7.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{24 - 10 i}{49 + 7 i + 7 i + i^{1} i^{1}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.7.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{24 - 10 i}{49 + 7 i + 7 i + i^{1 + 1}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.7.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{24 - 10 i}{49 + 7 i + 7 i + i^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.7.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{\frac{24 - 10 i}{49 + 7 i + 7 i - 1}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.7.2

Soustrayez $1$ de $49$ .

$\frac{\frac{24 - 10 i}{48 + 7 i + 7 i}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.7.3

Additionnez $7 i$ et $7 i$ .

$\frac{\frac{24 - 10 i}{48 + 14 i}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.8

Annulez le facteur commun à $24 - 10 i$ et $48 + 14 i$ .

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Étape 1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$\frac{\frac{2 (12) - 10 i}{48 + 14 i}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10 i$ .

$\frac{\frac{2 (12) + 2 (- 5 i)}{48 + 14 i}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (12) + 2 (- 5 i)$ .

$\frac{\frac{2 (12 - 5 i)}{48 + 14 i}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $48$ .

$\frac{\frac{2 (12 - 5 i)}{2 \cdot 24 + 14 i}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.8.4.2

Factorisez $2$ à partir de $14 i$ .

$\frac{\frac{2 (12 - 5 i)}{2 \cdot 24 + 2 (7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.8.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (24) + 2 (7 i)$ .

$\frac{\frac{2 (12 - 5 i)}{2 (24 + 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.8.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 (12 - 5 i)}{2 (24 + 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.8.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{12 - 5 i}{24 + 7 i}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.9

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{12 - 5 i}{24 + 7 i}$ par le conjugué de $24 + 7 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{\frac{12 - 5 i}{24 + 7 i} \cdot \frac{24 - 7 i}{24 - 7 i}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10

Multipliez.

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Étape 1.10.1

Associez.

$\frac{\frac{(12 - 5 i) (24 - 7 i)}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.10.2.1

Développez $(12 - 5 i) (24 - 7 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.10.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{12 (24 - 7 i) - 5 i (24 - 7 i)}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{12 \cdot 24 + 12 (- 7 i) - 5 i (24 - 7 i)}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{12 \cdot 24 + 12 (- 7 i) - 5 i \cdot 24 - 5 i (- 7 i)}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.10.2.2.1.1

Multipliez $12$ par $24$ .

$\frac{\frac{288 + 12 (- 7 i) - 5 i \cdot 24 - 5 i (- 7 i)}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2.2.1.2

Multipliez $- 7$ par $12$ .

$\frac{\frac{288 - 84 i - 5 i \cdot 24 - 5 i (- 7 i)}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2.2.1.3

Multipliez $24$ par $- 5$ .

$\frac{\frac{288 - 84 i - 120 i - 5 i (- 7 i)}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2.2.1.4

Multipliez $- 5 i (- 7 i)$ .

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Étape 1.10.2.2.1.4.1

Multipliez $- 7$ par $- 5$ .

$\frac{\frac{288 - 84 i - 120 i + 35 i i}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{288 - 84 i - 120 i + 35 (i^{1} i)}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{288 - 84 i - 120 i + 35 (i^{1} i^{1})}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{288 - 84 i - 120 i + 35 i^{1 + 1}}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{288 - 84 i - 120 i + 35 i^{2}}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{\frac{288 - 84 i - 120 i + 35 \cdot - 1}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2.2.1.6

Multipliez $35$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{288 - 84 i - 120 i - 35}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2.2.2

Soustrayez $35$ de $288$ .

$\frac{\frac{253 - 84 i - 120 i}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.2.2.3

Soustrayez $120 i$ de $- 84 i$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{(24 + 7 i) (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.10.3.1

Développez $(24 + 7 i) (24 - 7 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.10.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{253 - 204 i}{24 (24 - 7 i) + 7 i (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{253 - 204 i}{24 \cdot 24 + 24 (- 7 i) + 7 i (24 - 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{253 - 204 i}{24 \cdot 24 + 24 (- 7 i) + 7 i \cdot 24 + 7 i (- 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.2

Simplifiez

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Étape 1.10.3.2.1

Multipliez $24$ par $24$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{576 + 24 (- 7 i) + 7 i \cdot 24 + 7 i (- 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.2.2

Multipliez $- 7$ par $24$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{576 - 168 i + 7 i \cdot 24 + 7 i (- 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.2.3

Multipliez $24$ par $7$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{576 - 168 i + 168 i + 7 i (- 7 i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.2.4

Multipliez $- 7$ par $7$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{576 - 168 i + 168 i - 49 i i}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{576 - 168 i + 168 i - 49 (i^{1} i)}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{576 - 168 i + 168 i - 49 (i^{1} i^{1})}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{253 - 204 i}{576 - 168 i + 168 i - 49 i^{1 + 1}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{576 - 168 i + 168 i - 49 i^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.2.9

Additionnez $- 168 i$ et $168 i$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{576 + 0 - 49 i^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.2.10

Additionnez $576$ et $0$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{576 - 49 i^{2}}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.10.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{576 - 49 \cdot - 1}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.3.2

Multipliez $- 49$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{576 + 49}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

Étape 1.10.3.4

Additionnez $576$ et $49$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{2 \cdot \frac{i}{3 + i}}$

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 i}{3 + i}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 i}{3 + 1 i}$ par le conjugué de $3 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 i}{3 + 1 i} \cdot \frac{3 - i}{3 - i}}$

Étape 2.2

Multipliez.

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Étape 2.2.1

Associez.

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 i (3 - i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 i \cdot 3 + 2 i (- i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}}$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{6 i + 2 i (- i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}}$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $2 i (- i)$ .

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Étape 2.2.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{6 i - 2 i i}{(3 + 1 i) (3 - i)}}$

Étape 2.2.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{6 i - 2 (i^{1} i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}}$

Étape 2.2.2.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{6 i - 2 (i^{1} i^{1})}{(3 + 1 i) (3 - i)}}$

Étape 2.2.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{6 i - 2 i^{1 + 1}}{(3 + 1 i) (3 - i)}}$

Étape 2.2.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{6 i - 2 i^{2}}{(3 + 1 i) (3 - i)}}$

Étape 2.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{6 i - 2 \cdot - 1}{(3 + 1 i) (3 - i)}}$

Étape 2.2.2.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{6 i + 2}{(3 + 1 i) (3 - i)}}$

Étape 2.2.2.5

Remettez dans l’ordre $6 i$ et $2$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{(3 + 1 i) (3 - i)}}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.3.1

Développez $(3 + 1 i) (3 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{3 (3 - i) + 1 i (3 - i)}}$

Étape 2.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{3 \cdot 3 + 3 (- i) + 1 i (3 - i)}}$

Étape 2.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{3 \cdot 3 + 3 (- i) + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}}$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{9 + 3 (- i) + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}}$

Étape 2.2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{9 - 3 i + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}}$

Étape 2.2.3.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{9 - 3 i + 3 i + 1 i (- i)}}$

Étape 2.2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{9 - 3 i + 3 i - i i}}$

Étape 2.2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{9 - 3 i + 3 i - (i^{1} i)}}$

Étape 2.2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{9 - 3 i + 3 i - (i^{1} i^{1})}}$

Étape 2.2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{9 - 3 i + 3 i - i^{1 + 1}}}$

Étape 2.2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{9 - 3 i + 3 i - i^{2}}}$

Étape 2.2.3.2.9

Additionnez $- 3 i$ et $3 i$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{9 + 0 - i^{2}}}$

Étape 2.2.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{9 - i^{2}}}$

Étape 2.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{9 - - 1}}$

Étape 2.2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{9 + 1}}$

Étape 2.2.3.4

Additionnez $9$ et $1$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 + 6 i}{10}}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun à $2 + 6 i$ et $10$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 (1) + 6 i}{10}}$

Étape 2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6 i$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 (1) + 2 (3 i)}{10}}$

Étape 2.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (3 i)$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 (1 + 3 i)}{10}}$

Étape 2.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 (1 + 3 i)}{2 \cdot 5}}$

Étape 2.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{2 (1 + 3 i)}{2 \cdot 5}}$

Étape 2.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{253 - 204 i}{625}}{\frac{1 + 3 i}{5}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{253 - 204 i}{625} \cdot \frac{5}{1 + 3 i}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.1

Factorisez $5$ à partir de $625$ .

$\frac{253 - 204 i}{5 (125)} \cdot \frac{5}{1 + 3 i}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{253 - 204 i}{5 \cdot 125} \cdot \frac{5}{1 + 3 i}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{253 - 204 i}{125} \cdot \frac{1}{1 + 3 i}$

Étape 5

Multipliez $\frac{253 - 204 i}{125}$ par $\frac{1}{1 + 3 i}$ .

$\frac{253 - 204 i}{125 (1 + 3 i)}$

Étape 6

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{253 - 204 i}{125 + 375 i}$ par le conjugué de $125 + 375 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{253 - 204 i}{125 + 375 i} \cdot \frac{125 - 375 i}{125 - 375 i}$

Étape 7

Multipliez.

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Étape 7.1

Associez.

$\frac{(253 - 204 i) (125 - 375 i)}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Développez $(253 - 204 i) (125 - 375 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{253 (125 - 375 i) - 204 i (125 - 375 i)}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{253 \cdot 125 + 253 (- 375 i) - 204 i (125 - 375 i)}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{253 \cdot 125 + 253 (- 375 i) - 204 i \cdot 125 - 204 i (- 375 i)}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.2.1.1

Multipliez $253$ par $125$ .

$\frac{31625 + 253 (- 375 i) - 204 i \cdot 125 - 204 i (- 375 i)}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2.2.1.2

Multipliez $- 375$ par $253$ .

$\frac{31625 - 94875 i - 204 i \cdot 125 - 204 i (- 375 i)}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2.2.1.3

Multipliez $125$ par $- 204$ .

$\frac{31625 - 94875 i - 25500 i - 204 i (- 375 i)}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2.2.1.4

Multipliez $- 204 i (- 375 i)$ .

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Étape 7.2.2.1.4.1

Multipliez $- 375$ par $- 204$ .

$\frac{31625 - 94875 i - 25500 i + 76500 i i}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{31625 - 94875 i - 25500 i + 76500 (i^{1} i)}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{31625 - 94875 i - 25500 i + 76500 (i^{1} i^{1})}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{31625 - 94875 i - 25500 i + 76500 i^{1 + 1}}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{31625 - 94875 i - 25500 i + 76500 i^{2}}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{31625 - 94875 i - 25500 i + 76500 \cdot - 1}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2.2.1.6

Multipliez $76500$ par $- 1$ .

$\frac{31625 - 94875 i - 25500 i - 76500}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $76500$ de $31625$ .

$\frac{- 44875 - 94875 i - 25500 i}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.2.2.3

Soustrayez $25500 i$ de $- 94875 i$ .

$\frac{- 44875 - 120375 i}{(125 + 375 i) (125 - 375 i)}$

Étape 7.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.1

Développez $(125 + 375 i) (125 - 375 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 44875 - 120375 i}{125 (125 - 375 i) + 375 i (125 - 375 i)}$

Étape 7.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 44875 - 120375 i}{125 \cdot 125 + 125 (- 375 i) + 375 i (125 - 375 i)}$

Étape 7.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 44875 - 120375 i}{125 \cdot 125 + 125 (- 375 i) + 375 i \cdot 125 + 375 i (- 375 i)}$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $125$ par $125$ .

$\frac{- 44875 - 120375 i}{15625 + 125 (- 375 i) + 375 i \cdot 125 + 375 i (- 375 i)}$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $- 375$ par $125$ .

$\frac{- 44875 - 120375 i}{15625 - 46875 i + 375 i \cdot 125 + 375 i (- 375 i)}$

Étape 7.3.2.3

Multipliez $125$ par $375$ .

$\frac{- 44875 - 120375 i}{15625 - 46875 i + 46875 i + 375 i (- 375 i)}$

Étape 7.3.2.4

Multipliez $- 375$ par $375$ .

$\frac{- 44875 - 120375 i}{15625 - 46875 i + 46875 i - 140625 i i}$

Étape 7.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 44875 - 120375 i}{15625 - 46875 i + 46875 i - 140625 (i^{1} i)}$

Étape 7.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 44875 - 120375 i}{15625 - 46875 i + 46875 i - 140625 (i^{1} i^{1})}$

Étape 7.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 44875 - 120375 i}{15625 - 46875 i + 46875 i - 140625 i^{1 + 1}}$

Étape 7.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 44875 - 120375 i}{15625 - 46875 i + 46875 i - 140625 i^{2}}$

Étape 7.3.2.9

Additionnez $- 46875 i$ et $46875 i$ .

$\frac{- 44875 - 120375 i}{15625 + 0 - 140625 i^{2}}$

Étape 7.3.2.10

Additionnez $15625$ et $0$ .

$\frac{- 44875 - 120375 i}{15625 - 140625 i^{2}}$

Étape 7.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 44875 - 120375 i}{15625 - 140625 \cdot - 1}$

Étape 7.3.3.2

Multipliez $- 140625$ par $- 1$ .

$\frac{- 44875 - 120375 i}{15625 + 140625}$

Étape 7.3.4

Additionnez $15625$ et $140625$ .

$\frac{- 44875 - 120375 i}{156250}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $- 44875 - 120375 i$ et $156250$ .

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Étape 8.1

Factorisez $125$ à partir de $- 44875$ .

$\frac{125 (- 359) - 120375 i}{156250}$

Étape 8.2

Factorisez $125$ à partir de $- 120375 i$ .

$\frac{125 (- 359) + 125 (- 963 i)}{156250}$

Étape 8.3

Factorisez $125$ à partir de $125 (- 359) + 125 (- 963 i)$ .

$\frac{125 (- 359 - 963 i)}{156250}$

Étape 8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.1

Factorisez $125$ à partir de $156250$ .

$\frac{125 (- 359 - 963 i)}{125 \cdot 1250}$

Étape 8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{125 (- 359 - 963 i)}{125 \cdot 1250}$

Étape 8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 359 - 963 i}{1250}$

Étape 9

Divisez la fraction $\frac{- 359 - 963 i}{1250}$ en deux fractions.

$\frac{- 359}{1250} + \frac{- 963 i}{1250}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{359}{1250} + \frac{- 963 i}{1250}$

Étape 10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{359}{1250} - \frac{963 i}{1250}$