Ensembles finis Exemples

$\frac{e^{14} - e^{- 14}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $e^{14}$ comme ${(e^{7})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{7})}^{2} - e^{- 14}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.2

Réécrivez $e^{- 14}$ comme ${(e^{- 7})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{7})}^{2} - {(e^{- 7})}^{2}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{7}$ et $b = e^{- 7}$ .

$\frac{(e^{7} + e^{- 7}) (e^{7} - e^{- 7})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(e^{7} + \frac{1}{e^{7}}) (e^{7} - e^{- 7})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.4.2

Pour écrire $e^{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{7}}{e^{7}}$ .

$\frac{(\frac{e^{7} e^{7}}{e^{7}} + \frac{1}{e^{7}}) (e^{7} - e^{- 7})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{e^{7} e^{7} + 1}{e^{7}} (e^{7} - e^{- 7})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.4.4

Multipliez $e^{7}$ par $e^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{e^{7 + 7} + 1}{e^{7}} (e^{7} - e^{- 7})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.4.4.2

Additionnez $7$ et $7$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} (e^{7} - e^{- 7})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.4.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} (e^{7} - \frac{1}{e^{7}})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.4.6

Pour écrire $e^{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{7}}{e^{7}}$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} (\frac{e^{7} e^{7}}{e^{7}} - \frac{1}{e^{7}})}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.4.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{e^{7} e^{7} - 1}{e^{7}}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.4.8

Réécrivez $\frac{e^{7} e^{7} - 1}{e^{7}}$ en forme factorisée.

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Étape 1.4.8.1

Multipliez $e^{7}$ par $e^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.8.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{e^{7 + 7} - 1}{e^{7}}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.4.8.1.2

Additionnez $7$ et $7$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{e^{14} - 1}{e^{7}}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.4.8.2

Réécrivez $e^{14} - 1$ en forme factorisée.

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Étape 1.4.8.2.1

Réécrivez $e^{14}$ comme ${(e^{7})}^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{{(e^{7})}^{2} - 1}{e^{7}}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.4.8.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{{(e^{7})}^{2} - 1^{2}}{e^{7}}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 1.4.8.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{7}$ et $b = 1$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{e^{7} - e^{- 7}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{e^{7} - \frac{1}{e^{7}}}$

Étape 2.2

Pour écrire $e^{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{7}}{e^{7}}$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{\frac{e^{7} e^{7}}{e^{7}} - \frac{1}{e^{7}}}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{\frac{e^{7} e^{7} - 1}{e^{7}}}$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{e^{7} e^{7} - 1}{e^{7}}$ en forme factorisée.

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Étape 2.4.1

Multipliez $e^{7}$ par $e^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{\frac{e^{7 + 7} - 1}{e^{7}}}$

Étape 2.4.1.2

Additionnez $7$ et $7$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{\frac{e^{14} - 1}{e^{7}}}$

Étape 2.4.2

Réécrivez $e^{14} - 1$ en forme factorisée.

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Étape 2.4.2.1

Réécrivez $e^{14}$ comme ${(e^{7})}^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{\frac{{(e^{7})}^{2} - 1}{e^{7}}}$

Étape 2.4.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{\frac{{(e^{7})}^{2} - 1^{2}}{e^{7}}}$

Étape 2.4.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{7}$ et $b = 1$ .

$\frac{\frac{e^{14} + 1}{e^{7}} \cdot \frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}{\frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{e^{14} + 1}{e^{7}}$ par $\frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}$ .

$\frac{\frac{(e^{14} + 1) ((e^{7} + 1) (e^{7} - 1))}{e^{7} e^{7}}}{\frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}$

Étape 4

Multipliez $e^{7}$ par $e^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{(e^{14} + 1) (e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7 + 7}}}{\frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}$

Étape 4.2

Additionnez $7$ et $7$ .

$\frac{\frac{(e^{14} + 1) (e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{14}}}{\frac{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{7}}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{(e^{14} + 1) (e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}{e^{14}} \cdot \frac{e^{7}}{(e^{7} + 1) (e^{7} - 1)}$

Étape 6

Associez.

$\frac{(e^{14} + 1) (e^{7} + 1) (e^{7} - 1) e^{7}}{e^{14} ((e^{7} + 1) (e^{7} - 1))}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $e^{7} + 1$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(e^{14} + 1) (e^{7} + 1) (e^{7} - 1) e^{7}}{e^{14} ((e^{7} + 1) (e^{7} - 1))}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{((e^{14} + 1) (e^{7} - 1)) e^{7}}{e^{14} (e^{7} - 1)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun de $e^{7} - 1$ .

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(e^{14} + 1) (e^{7} - 1) e^{7}}{e^{14} (e^{7} - 1)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(e^{14} + 1) e^{7}}{e^{14}}$

Étape 9

Annulez le facteur commun à $e^{7}$ et $e^{14}$ .

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Étape 9.1

Factorisez $e^{7}$ à partir de $(e^{14} + 1) e^{7}$ .

$\frac{e^{7} (e^{14} + 1)}{e^{14}}$

Étape 9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.1

Factorisez $e^{7}$ à partir de $e^{14}$ .

$\frac{e^{7} (e^{14} + 1)}{e^{7} e^{7}}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{7} (e^{14} + 1)}{e^{7} e^{7}}$

Étape 9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{14} + 1}{e^{7}}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{e^{14} + 1}{e^{7}}$

Forme décimale :

$1096.63407031 \dots$