Ensembles finis Exemples

$\frac{x^{2} - 16 x}{x^{2} - x - 16} \div \frac{x^{3} - x^{2} - 20 x}{x^{2} - 8 x + 15}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 16 x}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 15}{x^{3} - x^{2} - 20 x}$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 16 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 16 x}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 15}{x^{3} - x^{2} - 20 x}$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 16 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 16}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 15}{x^{3} - x^{2} - 20 x}$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 16$ .

$\frac{x (x - 16)}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 15}{x^{3} - x^{2} - 20 x}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 8 x + 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $15$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 5, - 3$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x (x - 16)}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{(x - 5) (x - 3)}{x^{3} - x^{2} - 20 x}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - x^{2} - 20 x$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x (x - 16)}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{(x - 5) (x - 3)}{x \cdot x^{2} - x^{2} - 20 x}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (x - 16)}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{(x - 5) (x - 3)}{x \cdot x^{2} + x (- x) - 20 x}$

Étape 4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 20 x$ .

$\frac{x (x - 16)}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{(x - 5) (x - 3)}{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 20}$

Étape 4.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- x)$ .

$\frac{x (x - 16)}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{(x - 5) (x - 3)}{x (x^{2} - x) + x \cdot - 20}$

Étape 4.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - x) + x \cdot - 20$ .

$\frac{x (x - 16)}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{(x - 5) (x - 3)}{x (x^{2} - x - 20)}$

Étape 4.2

Factorisez $x^{2} - x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 5, 4$

Étape 4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x (x - 16)}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{(x - 5) (x - 3)}{x ((x - 5) (x + 4))}$

$\frac{x (x - 16)}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{(x - 5) (x - 3)}{x (x - 5) (x + 4)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x (x - 5) (x + 4)$ .

$\frac{x (x - 16)}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{(x - 5) (x - 3)}{x ((x - 5) (x + 4))}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x - 16)}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{(x - 5) (x - 3)}{x ((x - 5) (x + 4))}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 16}{x^{2} - x - 16} \cdot \frac{(x - 5) (x - 3)}{(x - 5) (x + 4)}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{x - 16}{x^{2} - x - 16}$ par $\frac{(x - 5) (x - 3)}{(x - 5) (x + 4)}$ .

$\frac{(x - 16) ((x - 5) (x - 3))}{(x^{2} - x - 16) ((x - 5) (x + 4))}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 16) ((x - 5) (x - 3))}{(x^{2} - x - 16) ((x - 5) (x + 4))}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 16) (x - 3)}{(x^{2} - x - 16) (x + 4)}$