Ensembles finis Exemples

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$

Étape 2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{(\sqrt{2} - \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{10} - \sqrt{10} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Élevez $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1} {(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1}}{- 3}$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1 + 1}}{- 3}$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{2}}{- 3}$

Étape 4

Réécrivez ${(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{2}$ comme $(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 6.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 6.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 6.1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 6.1.6

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 6.1.7

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{5 \cdot 2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 6.1.8

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Étape 6.1.9

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5 \cdot 5}}{- 3}$

Étape 6.1.10

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{25}}{- 3}$

Étape 6.1.11

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5^{2}}}{- 3}$

Étape 6.1.12

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + 5}{- 3}$

Étape 6.2

Additionnez $2$ et $5$ .

$\frac{7 + \sqrt{10} + \sqrt{10}}{- 3}$

Étape 6.3

Additionnez $\sqrt{10}$ et $\sqrt{10}$ .

$\frac{7 + 2 \sqrt{10}}{- 3}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{7 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Forme décimale :

$- 4.44151844 \dots$