Ensembles finis Exemples

$\frac{\frac{4 a + 12}{2 a - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $4 a + 12$ et $2 a - 10$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 a$ .

$\frac{\frac{2 (2 a) + 12}{2 a - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{\frac{2 (2 a) + 2 \cdot 6}{2 a - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 a) + 2 (6)$ .

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 a - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Étape 1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 a$ .

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 (a) - 10}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Étape 1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 10$ .

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 a + 2 \cdot - 5}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Étape 1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 a + 2 \cdot - 5$ .

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 (a - 5)}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Étape 1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 (2 a + 6)}{2 (a - 5)}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Étape 1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 a + 6}{a - 5}}{\frac{2 - 9}{a^{2} - a - 20}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 a + 6}{a - 5} \cdot \frac{a^{2} - a - 20}{2 - 9}$

Étape 3

Factorisez $2$ à partir de $2 a + 6$ .

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Étape 3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 a$ .

$\frac{2 (a) + 6}{a - 5} \cdot \frac{a^{2} - a - 20}{2 - 9}$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 a + 2 \cdot 3}{a - 5} \cdot \frac{a^{2} - a - 20}{2 - 9}$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 a + 2 \cdot 3$ .

$\frac{2 (a + 3)}{a - 5} \cdot \frac{a^{2} - a - 20}{2 - 9}$

Étape 4

Factorisez $a^{2} - a - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 5, 4$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 (a + 3)}{a - 5} \cdot \frac{(a - 5) (a + 4)}{2 - 9}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Soustrayez $9$ de $2$ .

$\frac{2 (a + 3)}{a - 5} \cdot \frac{(a - 5) (a + 4)}{- 7}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $a - 5$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (a + 3)}{a - 5} \cdot \frac{(a - 5) (a + 4)}{- 7}$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$2 (a + 3) \frac{a + 4}{- 7}$

Étape 5.3

Associez $\frac{a + 4}{- 7}$ et $2$ .

$\frac{(a + 4) \cdot 2}{- 7} (a + 3)$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $a + 4$ .

$\frac{2 \cdot (a + 4)}{- 7} (a + 3)$

Étape 5.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cdot (a + 4)}{7} (a + 3)$

Étape 5.5

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2 (a + 4)}{7} a - \frac{2 (a + 4)}{7} \cdot 3$

Étape 5.6

Associez $a$ et $\frac{2 (a + 4)}{7}$ .

$- \frac{a (2 (a + 4))}{7} - \frac{2 (a + 4)}{7} \cdot 3$

Étape 6

Multipliez $- \frac{2 (a + 4)}{7} \cdot 3$ .

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Étape 6.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{a (2 (a + 4))}{7} - 3 \frac{2 (a + 4)}{7}$

Étape 6.2

Associez $- 3$ et $\frac{2 (a + 4)}{7}$ .

$- \frac{a (2 (a + 4))}{7} + \frac{- 3 (2 (a + 4))}{7}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$- \frac{a (2 (a + 4))}{7} + \frac{- 6 (a + 4)}{7}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- a (2 (a + 4)) - 6 (a + 4)}{7}$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- a (2 a + 2 \cdot 4) - 6 (a + 4)}{7}$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{- a (2 a + 8) - 6 (a + 4)}{7}$

Étape 7.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- a (2 a) - a \cdot 8 - 6 (a + 4)}{7}$

Étape 7.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 1 \cdot 2 a \cdot a - a \cdot 8 - 6 (a + 4)}{7}$

Étape 7.2.5

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 a \cdot a - 8 a - 6 (a + 4)}{7}$

Étape 7.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.6.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.6.1.1

Déplacez $a$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 (a \cdot a) - 8 a - 6 (a + 4)}{7}$

Étape 7.2.6.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{- 1 \cdot 2 a^{2} - 8 a - 6 (a + 4)}{7}$

Étape 7.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 a^{2} - 8 a - 6 (a + 4)}{7}$

Étape 7.2.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 a^{2} - 8 a - 6 a - 6 \cdot 4}{7}$

Étape 7.2.8

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$\frac{- 2 a^{2} - 8 a - 6 a - 24}{7}$

Étape 7.3

Soustrayez $6 a$ de $- 8 a$ .

$\frac{- 2 a^{2} - 14 a - 24}{7}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 a^{2} - 14 a - 24$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 a^{2}$ .

$\frac{2 (- a^{2}) - 14 a - 24}{7}$

Étape 8.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 14 a$ .

$\frac{2 (- a^{2}) + 2 (- 7 a) - 24}{7}$

Étape 8.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 24$ .

$\frac{2 (- a^{2}) + 2 (- 7 a) + 2 (- 12)}{7}$

Étape 8.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- a^{2}) + 2 (- 7 a)$ .

$\frac{2 (- a^{2} - 7 a) + 2 (- 12)}{7}$

Étape 8.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- a^{2} - 7 a) + 2 (- 12)$ .

$\frac{2 (- a^{2} - 7 a - 12)}{7}$

Étape 8.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 12 = 12$ et dont la somme est $b = - 7$ .

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Étape 8.2.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7 a$ .

$\frac{2 (- a^{2} - 7 (a) - 12)}{7}$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 3$ plus $- 4$

$\frac{2 (- a^{2} + (- 3 - 4) a - 12)}{7}$

Étape 8.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- a^{2} - 3 a - 4 a - 12)}{7}$

Étape 8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 ((- a^{2} - 3 a) - 4 a - 12)}{7}$

Étape 8.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 (a (- a - 3) + 4 (- a - 3))}{7}$

Étape 8.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- a - 3$ .

$\frac{2 ((- a - 3) (a + 4))}{7}$

$\frac{2 (- a - 3) (a + 4)}{7}$

Étape 9

Simplifiez en factorisant.

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Étape 9.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{2 (- (a) - 3) (a + 4)}{7}$

Étape 9.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (a) - 1 (3)) (a + 4)}{7}$

Étape 9.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a) - 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (a + 3)) (a + 4)}{7}$

Étape 9.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.4.1

Réécrivez $- (a + 3)$ comme $- 1 (a + 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (a + 3)) (a + 4)}{7}$

Étape 9.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 (a + 3)) (a + 4)}{7}$

Étape 9.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 (a + 3)) (a + 4)}{7}$ .

$- \frac{2 (a + 3) (a + 4)}{7}$