Ensembles finis Exemples

$\frac{5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$ par $\frac{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}} \cdot \frac{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$ par $\frac{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{(5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}) (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}) (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}) (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{9 {\sqrt{2}}^{2} + 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}) (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 3

Développez $(5 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}) (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{3} (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{3} (3 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{3} (3 \sqrt{2}) + 5 \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $5 \sqrt{3} (3 \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.1.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{15 \sqrt{3} \sqrt{2} + 5 \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{15 \sqrt{2 \cdot 3} + 5 \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 5 \sqrt{3} (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.2

Multipliez $5 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 \sqrt{3} \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 {\sqrt{3}}^{2} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 \cdot 3^{1} - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{15 \sqrt{6} + 10 \cdot 3 - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.4

Multipliez $10$ par $3$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 3 \sqrt{2} (3 \sqrt{2})$ .

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Étape 4.1.5.1

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 \sqrt{2} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 {\sqrt{2}}^{1 + 1} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 {\sqrt{2}}^{2} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 \cdot 2^{1} - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 9 \cdot 2 - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.7

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 18 - 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{6}$

Étape 4.1.8

Multipliez $- 3 \sqrt{2} (2 \sqrt{3})$ .

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Étape 4.1.8.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 18 - 6 \sqrt{2} \sqrt{3}}{6}$

Étape 4.1.8.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 18 - 6 \sqrt{3 \cdot 2}}{6}$

Étape 4.1.8.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{15 \sqrt{6} + 30 - 18 - 6 \sqrt{6}}{6}$

Étape 4.2

Soustrayez $6 \sqrt{6}$ de $15 \sqrt{6}$ .

$\frac{30 - 18 + 9 \sqrt{6}}{6}$

Étape 4.3

Soustrayez $18$ de $30$ .

$\frac{12 + 9 \sqrt{6}}{6}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $12 + 9 \sqrt{6}$ et $6$ .

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Étape 5.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{3 (4) + 9 \sqrt{6}}{6}$

Étape 5.2

Factorisez $3$ à partir de $9 \sqrt{6}$ .

$\frac{3 (4) + 3 (3 \sqrt{6})}{6}$

Étape 5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (4) + 3 (3 \sqrt{6})$ .

$\frac{3 (4 + 3 \sqrt{6})}{6}$

Étape 5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (4 + 3 \sqrt{6})}{3 \cdot 2}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 + 3 \sqrt{6})}{3 \cdot 2}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 + 3 \sqrt{6}}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4 + 3 \sqrt{6}}{2}$

Forme décimale :

$5.67423461 \dots$