Ensembles finis Exemples

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ .

$\frac{(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{{\sqrt{5}}^{2} - \sqrt{10} + \sqrt{10} - {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Développez $(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{5} - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2} (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} (\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $2 \sqrt{2} \sqrt{5}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{5 \cdot 2} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $2 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 {\sqrt{2}}^{2} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2^{1} + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{10} - 2 \cdot 2 + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \sqrt{5} \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $2 \sqrt{5} \sqrt{5}$ .

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Étape 3.2.1.5.1

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.5.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 {\sqrt{5}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 {\sqrt{5}}^{2} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5^{1} + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 2 \cdot 5 + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.7

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 10 + 2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})}{3}$

Étape 3.2.1.8

Multipliez $2 \sqrt{5} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 3.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 10 - 2 \sqrt{5} \sqrt{2}}{3}$

Étape 3.2.1.8.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 10 - 2 \sqrt{2 \cdot 5}}{3}$

Étape 3.2.1.8.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{2 \sqrt{10} - 4 + 10 - 2 \sqrt{10}}{3}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $2 \sqrt{10}$ de $2 \sqrt{10}$ .

$\frac{0 - 4 + 10}{3}$

Étape 3.2.3

Soustrayez $4$ de $0$ .

$\frac{- 4 + 10}{3}$

Étape 3.2.4

Additionnez $- 4$ et $10$ .

$\frac{6}{3}$

Étape 4

Divisez $6$ par $3$ .

$2$