Ensembles finis Exemples

$y = \sqrt{t^{2} - 2 t} - 3$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{t^{2} - 2 t}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$t^{2} - 2 t \geq 0$

Étape 2

Résolvez $t$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$t^{2} - 2 t = 0$

Étape 2.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{2} - 2 t$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$t \cdot t - 2 t = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $t$ à partir de $- 2 t$ .

$t \cdot t + t \cdot - 2 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot t + t \cdot - 2$ .

$t (t - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t = 0$

$t - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $t$ égal à $0$ .

$t = 0$

Étape 2.5

Définissez $t - 2$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $t - 2$ égal à $0$ .

$t - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $t (t - 2) = 0$ vraie.

$t = 0, 2$

Étape 2.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$t < 0$

$0 < t < 2$

$t > 2$

Étape 2.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $t < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $t < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$t = - 2$

Étape 2.8.1.2

Remplacez $t$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 \geq 0$

Étape 2.8.1.3

Le côté gauche $8$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < t < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < t < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$t = 1$

Étape 2.8.2.2

Remplacez $t$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1 \geq 0$

Étape 2.8.2.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $t > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $t > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$t = 4$

Étape 2.8.3.2

Remplacez $t$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

${(4)}^{2} - 2 \cdot 4 \geq 0$

Étape 2.8.3.3

Le côté gauche $8$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$t < 0$ Vrai

$0 < t < 2$ Faux

$t > 2$ Vrai

$t < 0$ Vrai

$0 < t < 2$ Faux

$t > 2$ Vrai

Étape 2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$t \leq 0$ ou $t \geq 2$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $t$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0] \cup [2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${t | t \leq 0, t \geq 2}$

Étape 4