Ensembles finis Exemples

$y = \frac{x + 1}{x^{2} + 7 x - 12}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 1}{x^{2} + 7 x - 12}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 7 x - 12 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 7$ et $c = - 12$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.3

Additionnez $49$ et $48$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{2}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.3

Additionnez $49$ et $48$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{2}$

Étape 2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{97}}{2}$

Étape 2.4.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{97}}{2}$

Étape 2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{97}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{97})}{2}$

Étape 2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{97})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{97})}{2}$

Étape 2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.3

Additionnez $49$ et $48$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{2}$

Étape 2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{97}}{2}$

Étape 2.5.4

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{97}}{2}$

Étape 2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{97}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{97})}{2}$

Étape 2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - (\sqrt{97})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{97})}{2}$

Étape 2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Étape 2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{7 - \sqrt{97}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{97}}{2}) \cup (- \frac{7 + \sqrt{97}}{2}, - \frac{7 - \sqrt{97}}{2}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{97}}{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - \frac{7 - \sqrt{97}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{97}}{2}}$

Étape 4