Ensembles finis Exemples

$\frac{\frac{2 a}{a + b} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{a^{2} - b^{2}}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{\frac{2 a}{a + b} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2 a}{a + b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b - a}{b - a}$ .

$\frac{\frac{2 a}{a + b} \cdot \frac{b - a}{b - a} - \frac{b}{b - a} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{b}{b - a}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{\frac{2 a}{a + b} \cdot \frac{b - a}{b - a} - \frac{b}{b - a} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + b) (b - a)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{2 a}{a + b}$ par $\frac{b - a}{b - a}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b}{b - a} \cdot \frac{a + b}{a + b} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{b}{b - a}$ par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b (a + b)}{(b - a) (a + b)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(b - a) (a + b)$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Étape 6

Pour écrire $\frac{1}{a + b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} \cdot \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}}}$

Étape 7

Pour écrire $\frac{a}{a^{2} - b^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{1}{a + b} \cdot \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{a + b}{a + b}}$

Étape 8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + b) (a^{2} - b^{2})$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{a + b}$ par $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - b^{2}}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})} + \frac{a}{a^{2} - b^{2}} \cdot \frac{a + b}{a + b}}$

Étape 8.2

Multipliez $\frac{a}{a^{2} - b^{2}}$ par $\frac{a + b}{a + b}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})} + \frac{a (a + b)}{(a^{2} - b^{2}) (a + b)}}$

Étape 8.3

Réorganisez les facteurs de $(a^{2} - b^{2}) (a + b)$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})} + \frac{a (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2} + a (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Étape 10

Réécrivez $\frac{a^{2} - b^{2} + a (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}$ en forme factorisée.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2} + a \cdot a + a b}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Étape 10.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a^{2} - b^{2} + a^{2} + a b}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Étape 10.3

Additionnez $a^{2}$ et $a^{2}$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - b^{2} + a b}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Étape 10.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 10.4.1.1

Remettez dans l’ordre $- b^{2}$ et $a b$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} + a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Étape 10.4.1.2

Factorisez $1$ à partir de $a b$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} + 1 (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Étape 10.4.1.3

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} + (- 1 + 2) (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Étape 10.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - 1 (a b) + 2 (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Étape 10.4.1.5

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - 1 a b + 2 (a b) - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Étape 10.4.1.6

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a^{2} - 1 a b + 2 a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Étape 10.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a^{2} - 1 a b) + 2 a b - b^{2}}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Étape 10.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{a (2 a - b) + b (2 a - b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Étape 10.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 a - b$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a^{2} - b^{2})}}$

Étape 10.5

Factorisez.

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Étape 10.5.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = b$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) ((a + b) (a - b))}}$

Étape 10.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{(a + b) (a + b) (a - b)}}$

Étape 10.6

Associez les exposants.

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Étape 10.6.1

Élevez $a + b$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{1} (a + b) (a - b)}}$

Étape 10.6.2

Élevez $a + b$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1} (a - b)}}$

Étape 10.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{1 + 1} (a - b)}}$

Étape 10.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2} (a - b)}}$

Étape 10.7

Réduisez l’expression $\frac{(2 a - b) (a + b)}{{(a + b)}^{2} (a - b)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.7.1

Factorisez $a + b$ à partir de $(2 a - b) (a + b)$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(a + b) (2 a - b)}{{(a + b)}^{2} (a - b)}}$

Étape 10.7.2

Factorisez $a + b$ à partir de ${(a + b)}^{2} (a - b)$ .

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(a + b) (2 a - b)}{(a + b) ((a + b) (a - b))}}$

Étape 10.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{(a + b) (2 a - b)}{(a + b) ((a + b) (a - b))}}$

Étape 10.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{2 a (b - a) - b (a + b)}{(a + b) (b - a)} - \frac{b^{2}}{(a + b) (a - b)}}{\frac{2 a - b}{(a + b) (a - b)}}$