Ensembles finis Exemples

$\sqrt{7 x + 1} = 1 + \sqrt{5 x}$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{7 x + 1}}^{2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 x + 1}$ comme ${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(7 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(7 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(7 x + 1)}^{1} = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$7 x + 1 = {(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(1 + \sqrt{5 x})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$ .

$7 x + 1 = (1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$

Étape 2.3.1.2

Développez $(1 + \sqrt{5 x}) (1 + \sqrt{5 x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 x + 1 = 1 (1 + \sqrt{5 x}) + \sqrt{5 x} (1 + \sqrt{5 x})$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} (1 + \sqrt{5 x})$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 x + 1 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$7 x + 1 = 1 + 1 \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Étape 2.3.1.3.1.2

Multipliez $\sqrt{5 x}$ par $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \cdot 1 + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{5 x}$ par $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $\sqrt{5 x} \sqrt{5 x}$ .

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Étape 2.3.1.3.1.4.1

Élevez $\sqrt{5 x}$ à la puissance $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1} \sqrt{5 x}$

Étape 2.3.1.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{5 x}$ à la puissance $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1} {\sqrt{5 x}}^{1}$

Étape 2.3.1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{1 + 1}$

Étape 2.3.1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {\sqrt{5 x}}^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{5 x}}^{2}$ comme $5 x$ .

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Étape 2.3.1.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x}$ comme ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {({(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.3.1.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.3.1.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.3.1.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + {(5 x)}^{1}$

Étape 2.3.1.3.1.5.5

Simplifiez

$7 x + 1 = 1 + \sqrt{5 x} + \sqrt{5 x} + 5 x$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $\sqrt{5 x}$ et $\sqrt{5 x}$ .

$7 x + 1 = 1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x$

Étape 3

Résolvez $2 \sqrt{5 x}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1$ .

$1 + 2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $2 \sqrt{5 x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{5 x} + 5 x = 7 x + 1 - 1$

Étape 3.2.2

Soustrayez $5 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{5 x} = 7 x + 1 - 1 - 5 x$

Étape 3.2.3

Associez les termes opposés dans $7 x + 1 - 1 - 5 x$ .

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Étape 3.2.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 \sqrt{5 x} = 7 x + 0 - 5 x$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $7 x$ et $0$ .

$2 \sqrt{5 x} = 7 x - 5 x$

Étape 3.2.4

Soustrayez $5 x$ de $7 x$ .

$2 \sqrt{5 x} = 2 x$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{5 x})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x}$ comme ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 x$ .

${(2 (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot 5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$4 \cdot 5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$20 x^{1} = {(2 x)}^{2}$

Étape 5.2.1.8

Simplifiez

$20 x = {(2 x)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(2 x)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$20 x = 2^{2} x^{2}$

Étape 5.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$20 x = 4 x^{2}$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$20 x - 4 x^{2} = 0$

Étape 6.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$20 u - 4 u^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $4 u$ à partir de $20 u - 4 u^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $4 u$ à partir de $20 u$ .

$4 u (5) - 4 u^{2} = 0$

Étape 6.2.2.2

Factorisez $4 u$ à partir de $- 4 u^{2}$ .

$4 u (5) + 4 u (- u) = 0$

Étape 6.2.2.3

Factorisez $4 u$ à partir de $4 u (5) + 4 u (- u)$ .

$4 u (5 - u) = 0$

Étape 6.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$4 x (5 - x) = 0$

Étape 6.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$5 - x = 0$

Étape 6.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5

Définissez $5 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $5 - x$ égal à $0$ .

$5 - x = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $5 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.5.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 5$

Étape 6.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 5$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Étape 6.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.2.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x = 5$

Étape 6.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (5 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, 5$

Étape 7