Ensembles finis Exemples

\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Étape 1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

${(1 + 4 x)}^{2}, 4$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre

$1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

$4$ a des facteurs de

$2$ et

$2$ .

$2 \cdot 2$

Étape 2.5

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$4$

Étape 2.6

Les facteurs pour

$1 + 4 x$ sont

$(1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$ , qui correspond à

$1 + 4 x$ multiplié par lui-même

$2$ fois.

$(1 + 4 x) = (1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$

$(1 + 4 x)$ se produit

$2$ fois.

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de

${(1 + 4 x)}^{2}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

${(1 + 4 x)}^{2}$

Étape 2.8

Le plus petit multiple commun

$LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ par

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ par

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de

${(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Étape 3.2.1.2

Factorisez

${(1 + 4 x)}^{2}$ à partir de

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Étape 3.2.2

Multipliez

$4$ par

$- 1$ .

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de

$4$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez

$4$ à partir de

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 ({(1 + 4 x)}^{2}))$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez

$5 {(1 + 4 x)}^{2}$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez

${(1 + 4 x)}^{2}$ comme

$(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ .

$- 4 x^{2} = 5 ((1 + 4 x) (1 + 4 x))$

Étape 4.1.2

Développez

$(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x^{2} = 5 (1 (1 + 4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1.1

Multipliez

$1$ par

$1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Étape 4.1.3.1.2

Multipliez

$4 x$ par

$1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

Étape 4.1.3.1.3

Multipliez

$4$ par

$1$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 x (4 x))$

Étape 4.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x \cdot x)$

Étape 4.1.3.1.5

Multipliez

$x$ par

$x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.3.1.5.1

Déplacez

$x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x))$

Étape 4.1.3.1.5.2

Multipliez

$x$ par

$x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})$

Étape 4.1.3.1.6

Multipliez

$4$ par

$4$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})$

Étape 4.1.3.2

Additionnez

$4 x$ et

$4 x$ .

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})$

Étape 4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 x^{2} = 5 \cdot 1 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Étape 4.1.5

Simplifiez

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Étape 4.1.5.1

Multipliez

$5$ par

$1$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

Étape 4.1.5.2

Multipliez

$8$ par

$5$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 5 (16 x^{2})$

Étape 4.1.5.3

Multipliez

$16$ par

$5$ .

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}$

Étape 4.2

Comme

$x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$5 + 40 x + 80 x^{2} = - 4 x^{2}$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes contenant

$x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez

$4 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$5 + 40 x + 80 x^{2} + 4 x^{2} = 0$

Étape 4.3.2

Additionnez

$80 x^{2}$ et

$4 x^{2}$ .

$5 + 40 x + 84 x^{2} = 0$

Étape 4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs

$a = 84$ ,

$b = 40$ et

$c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour

$x$ .

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (84 \cdot 5)}}{2 \cdot 84}$

Étape 4.6

Simplifiez

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Étape 4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1.1

Élevez

$40$ à la puissance

$2$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 84 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Étape 4.6.1.2

Multipliez

$- 4 \cdot 84 \cdot 5$ .

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Étape 4.6.1.2.1

Multipliez

$- 4$ par

$84$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 336 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Étape 4.6.1.2.2

Multipliez

$- 336$ par

$5$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}$

Étape 4.6.1.3

Soustrayez

$1680$ de

$1600$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 84}$

Étape 4.6.1.4

Réécrivez

$- 80$ comme

$- 1 (80)$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 84}$

Étape 4.6.1.5

Réécrivez

$\sqrt{- 1 (80)}$ comme

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ .

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Étape 4.6.1.6

Réécrivez

$\sqrt{- 1}$ comme

$i$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

Étape 4.6.1.7

Réécrivez

$80$ comme

$4^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.6.1.7.1

Factorisez

$16$ à partir de

$80$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 84}$

Étape 4.6.1.7.2

Réécrivez

$16$ comme

$4^{2}$ .

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

Étape 4.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 84}$

Étape 4.6.1.9

Déplacez

$4$ à gauche de

$i$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}$

Étape 4.6.2

Multipliez

$2$ par

$84$ .

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$

Étape 4.6.3

Simplifiez

$\frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$ .

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Étape 4.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{10 - i \sqrt{5}}{42}, - \frac{10 + i \sqrt{5}}{42}$

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

Étape 5