Ensembles finis Exemples

${(2 m + 10)}^{2} + {(3 m)}^{2} = {(5 m)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la règle de produit à $3 m$ .

${(2 m + 10)}^{2} + 3^{2} m^{2} = {(5 m)}^{2}$

Étape 1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} = {(5 m)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez ${(5 m)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $5 m$ .

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} = 5^{2} m^{2}$

Étape 2.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} = 25 m^{2}$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $m$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $25 m^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(2 m + 10)}^{2} + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez ${(2 m + 10)}^{2}$ comme $(2 m + 10) (2 m + 10)$ .

$(2 m + 10) (2 m + 10) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 3.2.2

Développez $(2 m + 10) (2 m + 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 m (2 m + 10) + 10 (2 m + 10) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m + 10) + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 m (2 m) + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 3.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 m \cdot m + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 3.2.3.1.2

Multipliez $m$ par $m$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.3.1.2.1

Déplacez $m$ .

$2 \cdot 2 (m \cdot m) + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 3.2.3.1.2.2

Multipliez $m$ par $m$ .

$2 \cdot 2 m^{2} + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 3.2.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 m^{2} + 2 m \cdot 10 + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 3.2.3.1.4

Multipliez $10$ par $2$ .

$4 m^{2} + 20 m + 10 (2 m) + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 3.2.3.1.5

Multipliez $2$ par $10$ .

$4 m^{2} + 20 m + 20 m + 10 \cdot 10 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 3.2.3.1.6

Multipliez $10$ par $10$ .

$4 m^{2} + 20 m + 20 m + 100 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 3.2.3.2

Additionnez $20 m$ et $20 m$ .

$4 m^{2} + 40 m + 100 + 9 m^{2} - 25 m^{2} = 0$

Étape 3.3

Additionnez $4 m^{2}$ et $9 m^{2}$ .

$13 m^{2} + 40 m + 100 - 25 m^{2} = 0$

Étape 3.4

Soustrayez $25 m^{2}$ de $13 m^{2}$ .

$- 12 m^{2} + 40 m + 100 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 12 m^{2} + 40 m + 100$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 12 m^{2}$ .

$- 4 (3 m^{2}) + 40 m + 100 = 0$

Étape 4.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $40 m$ .

$- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 10 m) + 100 = 0$

Étape 4.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $100$ .

$- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 10 m) - 4 \cdot - 25 = 0$

Étape 4.1.4

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 (3 m^{2}) - 4 (- 10 m)$ .

$- 4 (3 m^{2} - 10 m) - 4 \cdot - 25 = 0$

Étape 4.1.5

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 (3 m^{2} - 10 m) - 4 (- 25)$ .

$- 4 (3 m^{2} - 10 m - 25) = 0$

Étape 4.2

Factorisez.

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Étape 4.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 25 = - 75$ et dont la somme est $b = - 10$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 m$ .

$- 4 (3 m^{2} - 10 m - 25) = 0$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez $- 10$ comme $5$ plus $- 15$

$- 4 (3 m^{2} + (5 - 15) m - 25) = 0$

Étape 4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 4 (3 m^{2} + 5 m - 15 m - 25) = 0$

Étape 4.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- 4 ((3 m^{2} + 5 m) - 15 m - 25) = 0$

Étape 4.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- 4 (m (3 m + 5) - 5 (3 m + 5)) = 0$

Étape 4.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 m + 5$ .

$- 4 ((3 m + 5) (m - 5)) = 0$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 4 (3 m + 5) (m - 5) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 m + 5 = 0$

$m - 5 = 0$

Étape 6

Définissez $3 m + 5$ égal à $0$ et résolvez $m$ .

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Étape 6.1

Définissez $3 m + 5$ égal à $0$ .

$3 m + 5 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $3 m + 5 = 0$ pour $m$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$3 m = - 5$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $3 m = - 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 m = - 5$ par $3$ .

$\frac{3 m}{3} = \frac{- 5}{3}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 m}{3} = \frac{- 5}{3}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $m$ par $1$ .

$m = \frac{- 5}{3}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$m = - \frac{5}{3}$

Étape 7

Définissez $m - 5$ égal à $0$ et résolvez $m$ .

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Étape 7.1

Définissez $m - 5$ égal à $0$ .

$m - 5 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$m = 5$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 4 (3 m + 5) (m - 5) = 0$ vraie.

$m = - \frac{5}{3}, 5$

Étape 9