Ensembles finis Exemples

$f (x) = x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$

Étape 1

Définissez $x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11$ égal à $0$ .

$x^{4} + 10 x^{3} - 12 x^{2} - 10 x + 11 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$10 x^{3} - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x^{3} - 10 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 10 x + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $10 x$ à partir de $- 10 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x (x^{2}) + 10 x (- 1)$ .

$10 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez.

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Étape 2.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$10 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$10 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.1.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 12 x^{2} + 11 = 0$

Étape 2.1.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 12 u + 11 = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $u^{2} - 12 u + 11$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $11$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 11, - 1$

Étape 2.1.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (u - 11) (u - 1) = 0$

Étape 2.1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 2.1.9

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez.

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Étape 2.1.10.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.1.11

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $10 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

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Étape 2.1.11.1

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $10 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.1.11.2

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x^{2} - 11) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11) = 0$

Étape 2.1.11.3

Factorisez $(x + 1) (x - 1)$ à partir de $(x + 1) (x - 1) (10 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 11)$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

Étape 2.1.12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x + 1) (x - 1) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

Étape 2.1.13

Factorisez $10 u + u^{2} - 11$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.13.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 11$ et dont la somme est $10$ .

$- 1, 11$

Étape 2.1.13.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) (x - 1) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

Étape 2.1.14

Factorisez.

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Étape 2.1.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

Étape 2.1.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 1) (x - 1) (x + 11) = 0$

Étape 2.1.15

Associez les exposants.

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Étape 2.1.15.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Étape 2.1.15.2

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$(x + 1) ((x - 1) (x - 1)) (x + 11) = 0$

Étape 2.1.15.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 1) {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 11) = 0$

Étape 2.1.15.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 11 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.4

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $x + 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 11$ égal à $0$ .

$x + 11 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 11$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) {(x - 1)}^{2} (x + 11) = 0$ vraie.

$x = - 1, 1, - 11$

Étape 3