Ensembles finis Exemples

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 2 x = 0$

Étape 1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = - 2 x$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{{(x - 1)}^{2}}}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ comme ${(x - 1)}^{\frac{2}{2}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{2}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 3.2

Divisez $2$ par $2$ .

${({(x - 1)}^{1})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{1})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{1 \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

${(x - 1)}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

Simplifiez ${(- 2 x)}^{2}$ .

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Étape 3.4.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

${(x - 1)}^{2} = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Étape 3.4.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

${(x - 1)}^{2} = 4 x^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(x - 1)}^{2} - 4 x^{2} = 0$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x - 1) - 4 x^{2} = 0$

Étape 4.1.2.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) - 4 x^{2} = 0$

Étape 4.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - 4 x^{2} = 0$

Étape 4.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Étape 4.1.2.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Étape 4.1.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Étape 4.1.2.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - 4 x^{2} = 0$

Étape 4.1.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 - 4 x^{2} = 0$

Étape 4.1.2.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 x^{2} = 0$

Étape 4.1.3

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2} - 2 x + 1$ .

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Étape 4.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) - 2 x + 1 = 0$

Étape 4.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (2 x) + 1 = 0$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2}) - (2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 4.2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (2 x)$ .

$- (3 x^{2} + 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 4.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$- (3 x^{2} + 2 (x) - 1) = 0$

Étape 4.2.2.1.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$- (3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1) = 0$

Étape 4.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1) = 0$

Étape 4.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1) = 0$

Étape 4.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1)) = 0$

Étape 4.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$- ((3 x - 1) (x + 1)) = 0$

Étape 4.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (3 x - 1) (x + 1) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 4.4

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 4.4.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 4.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 4.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 4.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (3 x - 1) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 2 x = 0$ vrai.

$x = - 1$

Étape 6