Ensembles finis Exemples

$x = - 2 (x^{2} - 10 x)$

Étape 1

Simplifiez l’équation dans une forme appropriée pour compléter le carré.

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Étape 1.1

Simplifiez $- 2 (x^{2} - 10 x)$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = - 2 x^{2} - 2 (- 10 x)$

Étape 1.1.2

Multipliez $- 10$ par $- 2$ .

$x = - 2 x^{2} + 20 x$

Étape 1.2

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 2 x^{2} + 20 x = x$

Étape 1.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.3.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} + 20 x - x = 0$

Étape 1.3.2

Soustrayez $x$ de $20 x$ .

$- 2 x^{2} + 19 x = 0$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} + 19 x = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} + 19 x = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} + \frac{19 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} + \frac{19 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{19 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 2.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - \frac{19 x}{2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} = 0$

Étape 3

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Étape 4

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + {(- \frac{19}{4})}^{2} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{19}{4}$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{19}{4})}^{2} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{19}{4}$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{19^{2}}{4^{2}} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + 1 \frac{19^{2}}{4^{2}} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.3

Multipliez $\frac{19^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{19^{2}}{4^{2}} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.4

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{4^{2}} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $0 + {(- \frac{19}{4})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{19}{4}$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + {(- 1)}^{2} {(\frac{19}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{19}{4}$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + {(- 1)}^{2} \frac{19^{2}}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + 1 \frac{19^{2}}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.3

Multipliez $\frac{19^{2}}{4^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + \frac{19^{2}}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.4

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + \frac{361}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = 0 + \frac{361}{16}$

Étape 5.2.1.2

Additionnez $0$ et $\frac{361}{16}$ .

$x^{2} - \frac{19 x}{2} + \frac{361}{16} = \frac{361}{16}$

Étape 6

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(x - \frac{19}{4})}^{2}$ .

${(x - \frac{19}{4})}^{2} = \frac{361}{16}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{19}{4} = \pm \sqrt{\frac{361}{16}}$

Étape 7.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{361}{16}}$ .

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Étape 7.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{361}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{361}}{\sqrt{16}}$ .

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{\sqrt{361}}{\sqrt{16}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $361$ comme $19^{2}$ .

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{\sqrt{19^{2}}}{\sqrt{16}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{19}{\sqrt{16}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{19}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 7.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x - \frac{19}{4} = \pm \frac{19}{4}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x - \frac{19}{4} = \frac{19}{4}$

Étape 7.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Ajoutez $\frac{19}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{19}{4} + \frac{19}{4}$

Étape 7.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{19 + 19}{4}$

Étape 7.3.2.3

Additionnez $19$ et $19$ .

$x = \frac{38}{4}$

Étape 7.3.2.4

Annulez le facteur commun à $38$ et $4$ .

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Étape 7.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $38$ .

$x = \frac{2 (19)}{4}$

Étape 7.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 19}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 19}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{19}{2}$

Étape 7.3.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x - \frac{19}{4} = - \frac{19}{4}$

Étape 7.3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.4.1

Ajoutez $\frac{19}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{19}{4} + \frac{19}{4}$

Étape 7.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 19 + 19}{4}$

Étape 7.3.4.3

Additionnez $- 19$ et $19$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 7.3.4.4

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 7.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{19}{2}, 0$