Ensembles finis Exemples

$5 x^{2} + 8 x - 4 = 0$

Étape 1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} + 8 x = 4$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} + 8 x = 4$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $5 x^{2} + 8 x = 4$ par $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} + \frac{8 x}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x^{2}}{5} + \frac{8 x}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} = \frac{4}{5}$

Étape 3

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{4}{5})}^{2}$

Étape 4

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + {(\frac{4}{5})}^{2} = \frac{4}{5} + {(\frac{4}{5})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{5}$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{4^{2}}{5^{2}} = \frac{4}{5} + {(\frac{4}{5})}^{2}$

Étape 5.1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{5^{2}} = \frac{4}{5} + {(\frac{4}{5})}^{2}$

Étape 5.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4}{5} + {(\frac{4}{5})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\frac{4}{5} + {(\frac{4}{5})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{5}$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4}{5} + \frac{4^{2}}{5^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4}{5} + \frac{16}{5^{2}}$

Étape 5.2.1.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4}{5} + \frac{16}{25}$

Étape 5.2.1.2

Pour écrire $\frac{4}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{16}{25}$

Étape 5.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $25$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $\frac{4}{5}$ par $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{16}{25}$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4 \cdot 5}{25} + \frac{16}{25}$

Étape 5.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{4 \cdot 5 + 16}{25}$

Étape 5.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.5.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{20 + 16}{25}$

Étape 5.2.1.5.2

Additionnez $20$ et $16$ .

$x^{2} + \frac{8 x}{5} + \frac{16}{25} = \frac{36}{25}$

Étape 6

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(x + \frac{4}{5})}^{2}$ .

${(x + \frac{4}{5})}^{2} = \frac{36}{25}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{4}{5} = \pm \sqrt{\frac{36}{25}}$

Étape 7.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{36}{25}}$ .

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Étape 7.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{36}{25}}$ comme $\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}$ .

$x + \frac{4}{5} = \pm \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x + \frac{4}{5} = \pm \frac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{25}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x + \frac{4}{5} = \pm \frac{6}{\sqrt{25}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x + \frac{4}{5} = \pm \frac{6}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 7.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x + \frac{4}{5} = \pm \frac{6}{5}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x + \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$

Étape 7.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Soustrayez $\frac{4}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{6}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 7.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{6 - 4}{5}$

Étape 7.3.2.3

Soustrayez $4$ de $6$ .

$x = \frac{2}{5}$

Étape 7.3.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x + \frac{4}{5} = - \frac{6}{5}$

Étape 7.3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.4.1

Soustrayez $\frac{4}{5}$ des deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{6}{5} - \frac{4}{5}$

Étape 7.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 6 - 4}{5}$

Étape 7.3.4.3

Soustrayez $4$ de $- 6$ .

$x = \frac{- 10}{5}$

Étape 7.3.4.4

Divisez $- 10$ par $5$ .

$x = - 2$

Étape 7.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2}{5}, - 2$