Ensembles finis Exemples

$3 x^{2} - 9 x - 50 = 0$

Étape 1

Ajoutez $50$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 9 x = 50$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} - 9 x = 50$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} - 9 x = 50$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{- 9 x}{3} = \frac{50}{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{- 9 x}{3} = \frac{50}{3}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{- 9 x}{3} = \frac{50}{3}$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $3$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9 x$ .

$x^{2} + \frac{3 (- 3 x)}{3} = \frac{50}{3}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x^{2} + \frac{3 (- 3 x)}{3 (1)} = \frac{50}{3}$

Étape 2.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{3 (- 3 x)}{3 \cdot 1} = \frac{50}{3}$

Étape 2.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{- 3 x}{1} = \frac{50}{3}$

Étape 2.2.1.2.2.4

Divisez $- 3 x$ par $1$ .

$x^{2} - 3 x = \frac{50}{3}$

Étape 3

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 4

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$x^{2} - 3 x + {(- \frac{3}{2})}^{2} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 5.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} - 3 x + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 5.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 3 x + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 5.1.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{3^{2}}{2^{2}} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 5.1.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{2^{2}} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 5.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\frac{50}{3} + {(- \frac{3}{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3}{2}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + 1 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Étape 5.2.1.1.3

Multipliez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Étape 5.2.1.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + \frac{9}{2^{2}}$

Étape 5.2.1.1.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} + \frac{9}{4}$

Étape 5.2.1.2

Pour écrire $\frac{50}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 5.2.1.3

Pour écrire $\frac{9}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.1.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.1.4.1

Multipliez $\frac{50}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4}{12} + \frac{9}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.2.1.4.3

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Étape 5.2.1.4.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4}{12} + \frac{9 \cdot 3}{12}$

Étape 5.2.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{50 \cdot 4 + 9 \cdot 3}{12}$

Étape 5.2.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.6.1

Multipliez $50$ par $4$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{200 + 9 \cdot 3}{12}$

Étape 5.2.1.6.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{200 + 27}{12}$

Étape 5.2.1.6.3

Additionnez $200$ et $27$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4} = \frac{227}{12}$

Étape 6

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(x - \frac{3}{2})}^{2}$ .

${(x - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{227}{12}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{3}{2} = \pm \sqrt{\frac{227}{12}}$

Étape 7.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{227}{12}}$ .

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Étape 7.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{227}{12}}$ comme $\frac{\sqrt{227}}{\sqrt{12}}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{\sqrt{12}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{\sqrt{4 (3)}}$

Étape 7.2.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 7.2.3

Multipliez $\frac{\sqrt{227}}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 7.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{227}}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 7.2.4.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 7.2.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Étape 7.2.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Étape 7.2.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 7.2.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 7.2.4.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 7.2.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.2.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.2.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.2.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Étape 7.2.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227} \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{227 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.5.2

Multipliez $227$ par $3$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{681}}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{681}}{6}$

Étape 7.3

Ajoutez $\frac{3}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \pm \frac{\sqrt{681}}{6} + \frac{3}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \pm \frac{\sqrt{681}}{6} + \frac{3}{2}$

Forme décimale :

$x = 5.84932945 \dots, - 2.84932945 \dots$