Ensembles finis Exemples

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

Étape 1

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 7 x = 15$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} + 7 x = 15$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} + 7 x = 15$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{7 x}{2} = \frac{15}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{7 x}{2} = \frac{15}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} = \frac{15}{2}$

Étape 3

Pour créer un carré trinomial du côté gauche de l’équation, trouvez une valeur égale au carré de la moitié de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{7}{4})}^{2}$

Étape 4

Ajoutez le terme de chaque côté de l’équation.

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{4}$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{7^{2}}{4^{2}} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{4^{2}} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Étape 5.1.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\frac{15}{2} + {(\frac{7}{4})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{4}$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + \frac{7^{2}}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + \frac{49}{4^{2}}$

Étape 5.2.1.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} + \frac{49}{16}$

Étape 5.2.1.2

Pour écrire $\frac{15}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15}{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{49}{16}$

Étape 5.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $\frac{15}{2}$ par $\frac{8}{8}$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15 \cdot 8}{2 \cdot 8} + \frac{49}{16}$

Étape 5.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15 \cdot 8}{16} + \frac{49}{16}$

Étape 5.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{15 \cdot 8 + 49}{16}$

Étape 5.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.5.1

Multipliez $15$ par $8$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{120 + 49}{16}$

Étape 5.2.1.5.2

Additionnez $120$ et $49$ .

$x^{2} + \frac{7 x}{2} + \frac{49}{16} = \frac{169}{16}$

Étape 6

Factorisez le carré trinomial parfait en ${(x + \frac{7}{4})}^{2}$ .

${(x + \frac{7}{4})}^{2} = \frac{169}{16}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x + \frac{7}{4} = \pm \sqrt{\frac{169}{16}}$

Étape 7.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{169}{16}}$ .

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Étape 7.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{169}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}}$ .

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{16}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $169$ comme $13^{2}$ .

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{\sqrt{13^{2}}}{\sqrt{16}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{13}{\sqrt{16}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{13}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 7.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x + \frac{7}{4} = \pm \frac{13}{4}$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x + \frac{7}{4} = \frac{13}{4}$

Étape 7.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.2.1

Soustrayez $\frac{7}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{13}{4} - \frac{7}{4}$

Étape 7.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{13 - 7}{4}$

Étape 7.3.2.3

Soustrayez $7$ de $13$ .

$x = \frac{6}{4}$

Étape 7.3.2.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $4$ .

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Étape 7.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = \frac{2 (3)}{4}$

Étape 7.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Étape 7.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 7.3.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x + \frac{7}{4} = - \frac{13}{4}$

Étape 7.3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.4.1

Soustrayez $\frac{7}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$x = - \frac{13}{4} - \frac{7}{4}$

Étape 7.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 13 - 7}{4}$

Étape 7.3.4.3

Soustrayez $7$ de $- 13$ .

$x = \frac{- 20}{4}$

Étape 7.3.4.4

Divisez $- 20$ par $4$ .

$x = - 5$

Étape 7.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{3}{2}, - 5$