Ensembles finis Exemples

$(1 - 2 i) x + (1 + 2 i) y = 1 + i$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 x - 2 i x + (1 + 2 i) y = 1 + i$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x - 2 i x + (1 + 2 i) y = 1 + i$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x - 2 i x + 1 y + 2 i y = 1 + i$

Étape 1.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$x - 2 i x + y + 2 i y = 1 + i$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 i x + y + 2 i y = 1 + i - x$

Étape 2.2

Ajoutez $2 i x$ aux deux côtés de l’équation.

$y + 2 i y = 1 + i - x + 2 i x$

Étape 3

Factorisez $y$ à partir de $y + 2 i y$ .

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Étape 3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 + 2 i y = 1 + i - x + 2 i x$

Étape 3.2

Factorisez $y$ à partir de $2 i y$ .

$y \cdot 1 + y (2 i) = 1 + i - x + 2 i x$

Étape 3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (2 i)$ .

$y (1 + 2 i) = 1 + i - x + 2 i x$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $y (1 + 2 i) = 1 + i - x + 2 i x$ par $1 + 2 i$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $y (1 + 2 i) = 1 + i - x + 2 i x$ par $1 + 2 i$ .

$\frac{y (1 + 2 i)}{1 + 2 i} = \frac{1}{1 + 2 i} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + 2 i$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 + 2 i)}{1 + 2 i} = \frac{1}{1 + 2 i} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{1 + 2 i} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{1 + 2 i}$ par le conjugué de $1 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$y = \frac{1}{1 + 2 i} \cdot \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez.

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Étape 4.3.1.2.1

Associez.

$y = \frac{1 (1 - 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $1 - 2 i$ par $1$ .

$y = \frac{1 - 2 i}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1.2.3.1

Développez $(1 + 2 i) (1 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 - 2 i}{1 (1 - 2 i) + 2 i (1 - 2 i)} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- 2 i) + 2 i (1 - 2 i)} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 - 2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- 2 i) + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.1.2.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{1 - 2 i}{1 + 1 (- 2 i) + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$y = \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i + 2 i + 2 i (- 2 i)} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y = \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i i} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i)} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i^{1})} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{1 + 1}} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{2}} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.9

Additionnez $- 2 i$ et $2 i$ .

$y = \frac{1 - 2 i}{1 + 0 - 4 i^{2}} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$y = \frac{1 - 2 i}{1 - 4 i^{2}} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 i}{1 - 4 \cdot - 1} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 i}{1 + 4} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.2.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$y = \frac{1 - 2 i}{5} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.3

Divisez la fraction $\frac{1 - 2 i}{5}$ en deux fractions.

$y = \frac{1}{5} + \frac{- 2 i}{5} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i}{1 + 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.5

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{i}{1 + 2 i}$ par le conjugué de $1 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i}{1 + 2 i} \cdot \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6

Multipliez.

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Étape 4.3.1.6.1

Associez.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i (1 - 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i \cdot 1 + i (- 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.2.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i + i (- 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.2.3

Multipliez $i (- 2 i)$ .

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Étape 4.3.1.6.2.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i - 2 (i^{1} i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i - 2 (i^{1} i^{1})}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i - 2 i^{1 + 1}}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i - 2 i^{2}}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.6.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i - 2 \cdot - 1}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.2.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{i + 2}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.2.5

Remettez dans l’ordre $i$ et $2$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1.6.3.1

Développez $(1 + 2 i) (1 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.6.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 (1 - 2 i) + 2 i (1 - 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 \cdot 1 + 1 (- 2 i) + 2 i (1 - 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 \cdot 1 + 1 (- 2 i) + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.1.6.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 + 1 (- 2 i) + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 - 2 i + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 - 2 i + 2 i + 2 i (- 2 i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i i} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i)} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i^{1})} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{1 + 1}} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{2}} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.2.9

Additionnez $- 2 i$ et $2 i$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 + 0 - 4 i^{2}} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 - 4 i^{2}} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.6.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 - 4 \cdot - 1} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{1 + 4} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.6.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2 + i}{5} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.7

Divisez la fraction $\frac{2 + i}{5}$ en deux fractions.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x}{1 + 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.8

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- x}{1 + 2 i}$ par le conjugué de $1 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x}{1 + 2 i} \cdot \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9

Multipliez.

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Étape 4.3.1.9.1

Associez.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x (1 - 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x \cdot 1 - x (- 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x - x (- 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1.9.3.1

Développez $(1 + 2 i) (1 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.9.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 (1 - 2 i) + 2 i (1 - 2 i)} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 \cdot 1 + 1 (- 2 i) + 2 i (1 - 2 i)} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 \cdot 1 + 1 (- 2 i) + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.1.9.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 + 1 (- 2 i) + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 - 2 i + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 - 2 i + 2 i + 2 i (- 2 i)} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i i} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i)} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i^{1})} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{1 + 1}} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{2}} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.9

Additionnez $- 2 i$ et $2 i$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 + 0 - 4 i^{2}} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 - 4 i^{2}} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.9.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 - 4 \cdot - 1} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{1 + 4} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.9.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{- x + 2 x i}{5} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.10

Factorisez $x$ à partir de $- x + 2 x i$ .

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Étape 4.3.1.10.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x \cdot - 1 + 2 x i}{5} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.10.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x i$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x \cdot - 1 + x (2 i)}{5} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.10.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot - 1 + x (2 i)$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x}{1 + 2 i}$

Étape 4.3.1.11

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 i x}{1 + 2 i}$ par le conjugué de $1 + 2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x}{1 + 2 i} \cdot \frac{1 - 2 i}{1 - 2 i}$

Étape 4.3.1.12

Multipliez.

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Étape 4.3.1.12.1

Associez.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x (1 - 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.12.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x \cdot 1 + 2 i x (- 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 2 i x (- 2 i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.3

Multipliez $2 i x (- 2 i)$ .

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Étape 4.3.1.12.2.3.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x - 4 i x i}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x - 4 x (i^{1} i)}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x - 4 x (i^{1} i^{1})}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x - 4 x i^{1 + 1}}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x - 4 x i^{2}}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.12.2.4.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x - 4 x \cdot - 1}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{(1 + 2 i) (1 - 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1.12.3.1

Développez $(1 + 2 i) (1 - 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1.12.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 (1 - 2 i) + 2 i (1 - 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 \cdot 1 + 1 (- 2 i) + 2 i (1 - 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 \cdot 1 + 1 (- 2 i) + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.1.12.3.2.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 + 1 (- 2 i) + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 - 2 i + 2 i \cdot 1 + 2 i (- 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 - 2 i + 2 i + 2 i (- 2 i)}$

Étape 4.3.1.12.3.2.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 - 2 i + 2 i - 4 i i}$

Étape 4.3.1.12.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i)}$

Étape 4.3.1.12.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 - 2 i + 2 i - 4 (i^{1} i^{1})}$

Étape 4.3.1.12.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{1 + 1}}$

Étape 4.3.1.12.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 - 2 i + 2 i - 4 i^{2}}$

Étape 4.3.1.12.3.2.9

Additionnez $- 2 i$ et $2 i$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 + 0 - 4 i^{2}}$

Étape 4.3.1.12.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 - 4 i^{2}}$

Étape 4.3.1.12.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.12.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 - 4 \cdot - 1}$

Étape 4.3.1.12.3.3.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{1 + 4}$

Étape 4.3.1.12.3.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 i x + 4 x}{5}$

Étape 4.3.1.13

Factorisez $2 x$ à partir de $2 i x + 4 x$ .

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Étape 4.3.1.13.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 i x$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 x (i) + 4 x}{5}$

Étape 4.3.1.13.2

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 x (i) + 2 x (2)}{5}$

Étape 4.3.1.13.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (i) + 2 x (2)$ .

$y = \frac{1}{5} - \frac{2 i}{5} + \frac{2}{5} + \frac{i}{5} + \frac{x (- 1 + 2 i)}{5} + \frac{2 x (i + 2)}{5}$

Étape 4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{1 - 2 i + 2 + i + x (- 1 + 2 i) + 2 x (i + 2)}{5}$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 - 2 i + 2 + i + x \cdot - 1 + x (2 i) + 2 x (i + 2)}{5}$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{1 - 2 i + 2 + i - 1 \cdot x + x (2 i) + 2 x (i + 2)}{5}$

Étape 4.3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.3.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = \frac{1 - 2 i + 2 + i - x + x \cdot 2 i + 2 x (i + 2)}{5}$

Étape 4.3.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = \frac{1 - 2 i + 2 + i - x + 2 x i + 2 x (i + 2)}{5}$

Étape 4.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{1 - 2 i + 2 + i - x + 2 x i + 2 x i + 2 x \cdot 2}{5}$

Étape 4.3.3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{1 - 2 i + 2 + i - x + 2 x i + 2 x i + 4 x}{5}$

Étape 4.3.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.3.4.1

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{3 - 2 i + i - x + 2 x i + 2 x i + 4 x}{5}$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $- 2 i$ et $i$ .

$y = \frac{3 - i - x + 2 x i + 2 x i + 4 x}{5}$

Étape 4.3.4.3

Additionnez $- x$ et $4 x$ .

$y = \frac{3 - i + 2 x i + 2 x i + 3 x}{5}$

Étape 4.3.4.4

Additionnez $2 x i$ et $2 x i$ .

$y = \frac{3 - i + 4 x i + 3 x}{5}$

Étape 4.3.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{4 i x + 3 x + 3 - i}{5}$

Étape 5

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 6