Ensembles finis Exemples

$x^{2} + {(y - \sqrt[3]{x^{2}})}^{2} = 1$

Étape 1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(y - \sqrt[3]{x^{2}})}^{2} = 1 - x^{2}$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{1 - x^{2}}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \pm \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.2

Ajoutez $\sqrt[3]{x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

Étape 4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y - \sqrt[3]{x^{2}} = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4.4

Ajoutez $\sqrt[3]{x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

$y = - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \sqrt[3]{x^{2}}$

Étape 5

Définissez le radicande dans $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(1 + x) (1 - x) \geq 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Étape 6.2

Définissez $1 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez $1 + x$ égal à $0$ .

$1 + x = 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 6.3

Définissez $1 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Définissez $1 - x$ égal à $0$ .

$1 - x = 0$

Étape 6.3.2

Résolvez $1 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 1$

Étape 6.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 6.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x = 1$

Étape 6.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(1 + x) (1 - x) \geq 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 6.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Étape 6.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 6.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$(1 - 4) (1 - (- 4)) \geq 0$

Étape 6.6.1.3

Le côté gauche $- 15$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 1 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(1 + 0) (1 - (0)) \geq 0$

Étape 6.6.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 6.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(1 + 4) (1 - (4)) \geq 0$

Étape 6.6.3.3

Le côté gauche $- 15$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - 1$ Faux

$- 1 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 6.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 1 \leq x \leq 1$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 1, 1]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 1 \leq x \leq 1}$

Étape 8