Ensembles finis Exemples

$- \sqrt{x^{2} + 8 x + 32}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} + 8 x + 32}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{2} + 8 x + 32 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 8 x + 32 = 0$

Étape 2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 8$ et $c = 32$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 32)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 32$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 128}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.3

Soustrayez $128$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (64)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.7

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 8 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 32$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 128}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.3

Soustrayez $128$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (64)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.7

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2}$

Étape 2.5.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 8 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i$

Étape 2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 4 + 4 i$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 32$ .

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Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 128}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.3

Soustrayez $128$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $- 64$ comme $- 1 (64)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (64)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.7

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot 8}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.1.9

Déplacez $8$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2 \cdot 1}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 8 \pm 8 i}{2}$

Étape 2.6.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 8 i}{2}$ .

$x = - 4 \pm 4 i$

Étape 2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 4 - 4 i$

Étape 2.7

Identifiez le coefficient directeur.

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Étape 2.7.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$x^{2}$

Étape 2.7.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$1$

Étape 2.8

Comme il n’y a pas d’abscisse à l’origine réelle et comme le coefficient directeur est positif, le parabole ouvre vers le haut et $x^{2} + 8 x + 32$ est toujours supérieur à $0$ .

Tous les nombres réels

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4