Ensembles finis Exemples

$\log_{2} (182) - 2 \log_{2} (\sqrt{5 - x}) = \log_{2} (11 - x) + 1$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log_{2} (\sqrt{5 - x})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt{5 - x} > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{5 - x}}^{2} > 0^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 - x}$ comme ${(5 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez ${({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(5 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(5 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(5 - x)}^{1} > 0^{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez

$5 - x > 0^{2}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 - x > 0$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x > - 5$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $- x > - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x > - 5$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x < 5$

Étape 2.4

Déterminez le domaine de $\sqrt{5 - x}$ .

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Étape 2.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{5 - x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$5 - x \geq 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 5$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 5$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.4.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 5}{- 1}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x \leq 5$

Étape 2.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 5]$

Étape 2.5

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 5$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{5 - x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$5 - x \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 5$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 5$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 5}{- 1}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 5}{- 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Divisez $- 5$ par $- 1$ .

$x \leq 5$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 5)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < 5}$

Étape 6