Ensembles finis Exemples

$e^{2 \ln ((\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3)}$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln ((\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3 > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Résolvez $\sqrt{- x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{1}{\sqrt{- x}} > - 3$

Étape 2.1.2

Multipliez les deux côtés par $\sqrt{- x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{- x}} \sqrt{- x} = - 3 \sqrt{- x}$

Étape 2.1.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{- x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{- x}} \sqrt{- x} = - 3 \sqrt{- x}$

Étape 2.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = - 3 \sqrt{- x}$

Étape 2.1.4

Résolvez $\sqrt{- x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 \sqrt{- x} = 1$ .

$- 3 \sqrt{- x} = 1$

Étape 2.1.4.2

Divisez chaque terme dans $- 3 \sqrt{- x} = 1$ par $- 3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \sqrt{- x} = 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \sqrt{- x}}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Étape 2.1.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \sqrt{- x}}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Étape 2.1.4.2.2.1.2

Divisez $\sqrt{- x}$ par $1$ .

$\sqrt{- x} = \frac{1}{- 3}$

Étape 2.1.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.4.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{- x} = - \frac{1}{3}$

Étape 2.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- x}}^{2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x}$ comme ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Simplifiez ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 2.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- x)}^{1} = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez

$- x = {(- \frac{1}{3})}^{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Simplifiez ${(- \frac{1}{3})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{3}$ .

$- x = {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$

Étape 2.3.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$- x = {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Étape 2.3.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- x = 1 \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Étape 2.3.3.1.3

Multipliez $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$- x = \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Étape 2.3.3.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- x = \frac{1}{3^{2}}$

Étape 2.3.3.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- x = \frac{1}{9}$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $- x = \frac{1}{9}$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $- x = \frac{1}{9}$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{\frac{1}{9}}{- 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{\frac{1}{9}}{- 1}$

Étape 2.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{1}{9}}{- 1}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{9}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot \frac{1}{9}$

Étape 2.4.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{1}{9}$ comme $- \frac{1}{9}$ .

$x = - \frac{1}{9}$

Étape 2.5

Déterminez le domaine de $(\frac{1}{\sqrt{- x}}) + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x \geq 0$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- x \geq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x \leq 0$

Étape 2.5.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt{- x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{- x} = 0$

Étape 2.5.4

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x}$ comme ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 2.5.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.2.1

Simplifiez ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 2.5.4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 2.5.4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- x)}^{1} = 0^{2}$

Étape 2.5.4.2.2.1.2

Simplifiez

$- x = 0^{2}$

Étape 2.5.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- x = 0$

Étape 2.5.4.3

Divisez chaque terme dans $- x = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.4.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Étape 2.5.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.3.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x = 0$

Étape 2.5.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0)$

Étape 2.6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{1}{9}$

$- \frac{1}{9} < x < 0$

$x > 0$

Étape 2.7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{9}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{9}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 2.7.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$(\frac{1}{\sqrt{- (- 3)}}) + 3 > 0$

Étape 2.7.1.3

Le côté gauche $3.57735026$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{9} < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{9} < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.06$

Étape 2.7.2.2

Remplacez $x$ par $- 0.06$ dans l’inégalité d’origine.

$(\frac{1}{\sqrt{- (- 0.06)}}) + 3 > 0$

Étape 2.7.2.3

Le côté gauche $7.0824829$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.7.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$(\frac{1}{\sqrt{- (2)}}) + 3 > 0$

Étape 2.7.3.3

Le côté gauche n’est pas égal au côté droit, ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{1}{9}$ Vrai

$- \frac{1}{9} < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

$x < - \frac{1}{9}$ Vrai

$- \frac{1}{9} < x < 0$ Vrai

$x > 0$ Faux

Étape 2.8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{1}{9}$ ou $- \frac{1}{9} < x < 0$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{- x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x \geq 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- x \geq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x \leq 0$

Étape 5

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt{- x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{- x} = 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- x}}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- x}$ comme ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- x)}^{1} = 0^{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez

$- x = 0^{2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- x = 0$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $- x = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- x = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x = 0$

Étape 7

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{1}{9}) \cup (- \frac{1}{9}, 0)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < 0, x \neq - \frac{1}{9}}$

Étape 8