Ensembles finis Exemples

$\frac{7 x^{2} - 9 x}{x^{2} - 4 x - 7}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{7 x^{2} - 9 x}{x^{2} - 4 x - 7}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 4 x - 7 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.3

Additionnez $16$ et $28$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez $44$ comme $2^{2} \cdot 11$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{11}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.3

Additionnez $16$ et $28$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4

Réécrivez $44$ comme $2^{2} \cdot 11$ .

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Étape 2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{11}$

Étape 2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 2 + \sqrt{11}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.3

Additionnez $16$ et $28$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{44}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $44$ comme $2^{2} \cdot 11$ .

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Étape 2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $44$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$

Étape 2.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{11}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{11}$

Étape 2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 2 - \sqrt{11}$

Étape 2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + \sqrt{11}, 2 - \sqrt{11}$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 2 - \sqrt{11}) \cup (2 - \sqrt{11}, 2 + \sqrt{11}) \cup (2 + \sqrt{11}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2 - \sqrt{11}, 2 + \sqrt{11}}$

Étape 4